Главная » 2014»Август»4 » Скачать Свойства решений обобщенных уравнений Курамото-Сивашинского. Архипов, Александр Михайлович бесплатно
21:09
Скачать Свойства решений обобщенных уравнений Курамото-Сивашинского. Архипов, Александр Михайлович бесплатно
Свойства решений обобщенных уравнений Курамото-Сивашинского
Диссертация
Автор: Архипов, Александр Михайлович
Название: Свойства решений обобщенных уравнений Курамото-Сивашинского
Справка: Архипов, Александр Михайлович. Свойства решений обобщенных уравнений Курамото-Сивашинского : диссертация кандидата физико-математических наук : 01.01.02 / Архипов Александр Михайлович; [Место защиты: Моск. гос. ун-т им. М.В. Ломоносова] Москва, 2008 63 c. : 61 08-1/509
Объем: 63 стр.
Информация: Москва, 2008
Содержание:
Введение
Основные результаты к - сжимающие системы
Обобщенные диссипативные системы и их аттракторы
Глава 1: Оценка хаусдорфовой и энтропийной размерностей аттракторов обобщенного одномерного уравнения Курамото-Сивашинского
11 Формулировки и определения
12 Основные результаты
13 Определение конусов накачки и диссипации
14 Глобальное поведение решений
15 Формулировки основных лемм
16 Свойства уравнения Гамильтона-Якоби
17 Рост соболевских норм при приближению к моменту коллапса доказательство)
18 Замена масштаба и галеркинские приближения
19 Определение трубки траекторий и лемма о возмущении
110 Выбор трубки траекторий для возмущенного уравнения
111 Выход траекторий на сферу
112 Лемма о потере энергии
113 Вычисление размерностей аттракторов уравнения Курамото
Сивашинского
Глава 2: Теорема о перекачке энергии в уравнении Курамото-Сивашинского на многомерном торе с римановой метрикой
21 Введение
22 Уравнение Курамото-Сивашинского на многомерном торе с римановой метрикой
23 Нормы и определения
24 Теорема о перекачке энергии
25 Лемма о выходе
26 Уравнение Курамото-Сивашинского как малое возмущение уравнения Гамильтона-Якоби
27 Свойства решений уравнения Гамильтона-Якоби
28 Доказательство леммы о выходе
29 Проверка условий леммы о возмущении
210 Априорная оценка 59 Список литературы
Введение:
Задачи о вычислении хаусдорфовой и энтропийной размерностей аттракторов занимают важное место при изучении уравнений в частных производных. Особую важность имеет при этом энтропийная размерность, поскольку для нее выполняется легкая теорема Уитни о взаимно-однозначном проектировании и, кроме того, при численном счете обычно вычисляется именно эта размерность.
Уравнение, которое будет рассматриваться ниже, впервые возникло в работе Сивашинского [1], посвященной волновым потокам жидкости, текущей по вертикальной плоскости, а также в работе Курамото [2], где изучался диффузионный хаос в системах реакции. Откуда и происходит название уравнение Курамото-Сивашинского. В дальнейшем, данное уравнение было интенсивно изучено, как численно, так и аналитически. В частности, было доказано существование аттрактора и оценена его размерность. Для этой цели применялись различные методы и подходы (см. работы [3], [8], [10], [11], [16], [17], [18], [19], [20]).
Подход, который был предложен Ю. С. Ильяшенко в работе [3] использовал методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. В этом случае уравнение Курамото- Сивашинского рассматривается как динамическая система в бесконечномерном фазовом пространстве. Уравнение Курамото-Сивашинского задает векторное поле в бесконечномерном пространстве, а его траектории будут решениями уравнения. Одной из характеристик уравнения Курамото-Сивашинского является размерность его аттрактора. Впервые хаусдорфову размерность для изучения динамических систем применил Ж. Мале-Паре в 1976 году в [4]. Понятие к- сжимающей системы впервые возникло в работе Ю.С.Ильяшенко [5] в 1982 году при вычислении размерности аттракторов системы Навье-Стокса, при этом, кроме хаусдорфовой размерности рассматривалась также энтропийная размерность. Результаты, касающиеся к-сжимающих систем позже были применены при оценке аттракторов уравнения Курамото-Сивашинского в работе [3].
Кроме того, с помощью подхода использованного Ю. С. Ильяшенко, при исследовании решений уравнения Курамото-Сивашинского был обнаружен так называемый эффект "перекачки энергии" от низких гармоник к высоким. Энергией в данном случае является квадрат любой соболевской нормы достаточно высокого порядка.
В дальнейшем были предложены различные варианты обобщения обычного уравнения Курамото-Сивашинского: как для многомерного случая ([21], [22], [24]), так и для одномерного. При этом для одномерного уравнения рассматривались различные вариации, как нелинейного члена [23], так и линейного [10].
Представляемая диссертация содержит решение двух задач. Первая задача состоит в оценке размерностей аттракторов обобщенного одномерного уравнения Курамото-Сивашинского. Вторая задача посвящена доказательству теоремы о перекачке энергии для многомерного уравнения Курамото-Сивашинского, заданного на многомерном торе с римановой метрикой. Метод решения этих задач основан на применении идей теории обыкновенных дифференциальных уравнений к бесконечномерным системам. Автор выражает свою огромную благодарность своему научному руководителю - доктору физико-математических наук, профессору Ю. С. Ильяшенко за постановку задач и постоянное внимание к работе.
Основные результаты
Результаты 1-ой главы.
Обобщенное одномерное уравнение Курамото-Сивашинского. Сформулируем основные результаты работы для одномерного случая. Подробные доказательства будут даны ниже в главе 1. Сначала дадим определение обобщенного уравнения Курамото-Сивашинского.
Определение. Обобщенное уравнение Курамото-Сивашинского имеет вид т =-Р(и\) + Аи) (GKS) где оператор А = > 0> если s - четное, as < 0, если s
• нечетное, s > 2. Решения u(t,x) этого уравнения рассматриваются на [О, оо) х S1, т.е. u(t,x-\- 2п) = u
R < Си Гм^о
, существует такой момент времени
Tv > 0, что решения уравнения (GKS) с начальным условием <р в момент Тр принимают значение ф, для которого H-P/v^lls+i — ^ll^lls+i* - порядок оператора А.
Результаты 2-ой главы.
Пусть Тп —п - мерный тор, (д) - метрический тензор, заданный на этом торе.
Пусть и = разложение Фурье функции и по собственным функциям оператора Лапласа-Бельтрами. Обозначим как Pjv и Pjy операторы отбрасывания "старших" и, соответственно "младших" членов разложения Фурье (гармоник), т.е. Рдт^ = ak?ki Pjy = и — Р^и. Нормируем метрику так, чтобы модуль наименьшего собственного значения оператора Бельтрами-Лапласа - полупоток в пространстве X, непрерывно зависящий от начальных условий. Пусть В и В это два множества в пространстве X такие, что В С. В. Тогда область В является глобально поглощающей для полупотока {д*} с периферией В и временной задержкой Т, если
1. Орбита любой точки ip 6 В возвращается в область В за время не превышающее Т и в тоже время не покидает область В.
2. Орбита каждой начальной точки (р входит в область В за некоторое положительное время.
Определение. Максимальный аттрактор обобщенной диссипативной системы это объединение всех орбит, которые определены на всей временной оси и лежат в периферии.
Оказывается, что определенный выше аттрактор может быть задан так же как аттрактор диссипативной системы и он будет устойчив по Ляпунову.
Предложение. Пусть t > 0} - обобщенный диссипативный полупоток с обобщенной глобальной поглощающей областью В с периферией В и временной задержкой Т, замыкания В и В являются компактными, и пусть А это его аттрактор в смысле данного выше определения. Тогда
A=f] gTnB n> О
Более того, аттрактор А непуст и является устойчивым по Ляпунову: для любой окрестности U аттрактора А существует такое положительное число t(U), что дгВ С U для любого t > t(U).
Это предложение было доказано в [3].
