Главная » 2014»Август»4 » Скачать Обобщенная задача прообраза. Фролкина, Ольга Дмитриевна бесплатно
20:44
Скачать Обобщенная задача прообраза. Фролкина, Ольга Дмитриевна бесплатно
Обобщенная задача прообраза
Диссертация
Автор: Фролкина, Ольга Дмитриевна
Название: Обобщенная задача прообраза
Справка: Фролкина, Ольга Дмитриевна. Обобщенная задача прообраза : диссертация кандидата физико-математических наук : 01.01.04 Москва, 2006 135 c. : 61 07-1/428
Объем: 135 стр.
Информация: Москва, 2006
Содержание:
Глава 1 Обобщенная задача прообраза
12 Постановка
13 Примеры
131 "Меры малости" множеств
132 Простейшие примеры
133 О задаче совпадения Брукса-Брауна
134 Более сложные примеры
135 Взаимосвязи разных задач '
136 Перенос аппарата при помощи преобразований
14 Классы Пильсена
141 Поднятия и накрытия Хопфа
142 Определение, свойства
143 Классы Пильсена в терминах универсальных накрытий
15 Классы Рейдемейстера
151 Посредством групп преобразований накрытий
152 Посредством фундаментальных групп
153 Посредством накрытий Хопфа
154 7^-множества
155 Взаимосвязь классов Пильсена и Рейдемейстера
16 Топологическое число Пильсена
161 Вспомогательные понятия и результаты
162 Определение, простейшие свойства
163 Классический случай
17 Пндекс, алгебраическое число Пильсена
171 Пндекс в обш;ем случае
172 Случай многообразий
173 Алгебраическое число Пильсена
174 Число Лефшеца
18 Теоремы типа Янга
181 Результаты типа Брукса-Брауна
182 Основной результат
19 О локальной теории Пильсена
Глава 2 Минимизация количества классов Нильсена
22 Основная теорема
23 Примеры и следствия
24 Всиомогательные утверждения 6Q
25 Доказательство теоремы
Глава 3 Относительная задача нрообраза
32 Задача минимизации
321 Относительные числа Нильсена
322 Минимизационная теорема
33 Точки прообраза на донолнении
331 Слабо общие классы
332 Описание слабо общих классов в терминах универ-сальных накрытий
333 Поведение слабо общих классов нри гомотонии
334 Числа Пильсена для дополнения
335 Теорема одновременной минимизации
336 Замечание о минимизации на донолнении
34 Случай неизбегаемого подмногообразия
341 Избыточные точки прообраза
342 Избыточное число Нильсена
343 Теорема минимизации для дополнения
35 Следствия для других задач
351 Относительная задача корней
352 Относительная задача общего прообраза
353 Относительная задача совпадения набора отображений
354 Относительная задача неподвижной точки
36 Вспомогательные результаты
Глава 4 Числа тина Лефшеца для отображенийсильно многообразно-нодобных нространств
42 Сильно многообразно-подобные пространства
43 Числа типа Лефшеца
431 Задача прообраза
432 Задача пересечения
433 Расширение преобразований МакКорда
434 Теоремы типа Лефшеца
435 Числа типа Лефшеца для других задач
Глава 5 Общая неподвижная точкакоммутирующих отображений отрезка
52 Пилообразные отображения
53 Кусочные отображения
54 Теоремы об общей неподвижной точке
55 Многочлены Чебышева 124Снисок литературы
Введение:
История вопроса и актуальность темы Одним из разделов теории неподвижных точек является задача минимизации количества ненодвижных точек отображения f : X -^ X пространства (полиэдра) X в себя в классе отображений, гомотопных данному (см,книги[34], [67], [71]). Лефшец в первой из работ цикла [77]-[81], посвященного пересечениям двух подмногообразий многообразия, отметил этотвопрос как основную проблему в изучении отображений. Знаменитое числоЛефшеца равно количеству ненодвижных точек с учетом их "кратностей",которые могут быть и отрицательны. Таким образом, теорема Лефшецаявляется теоремой существования. Кроме того, равенство числа Лефщецанулю, вообще говоря, не является критерием того, что отображение можно"освободить" от неподвижных точек, см. [87], [88]. Первым примером результата существенно иного типа является теорема Нильсена-Брауэра [90],[33] о минимальном количестве неподвижных точек отображения двумерного тора в себя в классе гомотопных данному отображений. Идеи работНильсена [90], [91] состояли в том, чтобы разбить множество неподвижныхточек на классы (Нильсена), каждому классу приписать некоторый индекс(позднее, с помощью техники работы Хопфа [58], определение индекса распространили на нолиэдры [41], [34]) и определить число (Нильсена) Л^а(/)как количество классов с ненулевым индексом. Нредноложение Нильсена огомотопической инвариантности этого числа было доказано Векеном [104],таким образом, число Нильсена дает нижнюю оценку "геометрическогоколичества" неподвижных точек: Л а^(/) ^ min|Fix(5')|. Идеи Лефшеца иНильсена получили дальнейшее развитие в работах Рейдемейстера [92] иВекена [105], [106]; подробный исторический обзор содержится в [38]. Векенже получил [106] теорему, позже усиленную Янгом [66], о точности этойоценки в случае, когда X является многообразием размерности не менее 3.Теорема Лефшеца о совпадениях [81] также является теоремой существования. Начала теории типа Нильсена для этой задачи были положеныв работах [45], [94], см. обзор [2].Теория типа Нильсена для задачи корней была развита уже Хонфом[57], однако широкое распрострапепие получила лишь после (независимой)работы Брукса [28], см. также обзор [31], книгу [71].Нозже множеством авторов, посредством аналогичных методов, изучались задачи пересечения [84] и нрообраза [40], [65].Возможно дальнейшее обобщение этих постановок, например, так называемые относительные задачи, когда рассматриваются отображения пар(см. статьи [96], [98] и обзоры [100], [ИЗ] для задачи неподвижных точек,работы [63], [64], [56] для задачи совпадения и [109], [110], [39] для задачикорней); статья [101] посвящена задаче ненодвижных точек для отображений триад. В относительных задачах, помимо вопроса о минимизацииобщего числа точек нужного вида (неподвижных, совпадения) при гомотопиях отображений нар, также исследуется вопрос о минимизации числатаких точек, лежащих на втором пространстве пары или в дополнении кнему [111], [112], [76].В связи со сказанным возникают следующие вопросы.Задачи совпадения и корней являются частными случаями задачи прообраза. Они также тесно связаны (см. [86]) с задачей пересечения. Интересно поставить обобщенную задачу прообраза, объединяющую задачинеподвижной точки, совпадения, пересечения, корней, а также их относительные варианты.Важно рассмотреть относительную задачу прообраза — это позволилобы объединить и обобщить результаты, известные для задач совпаденияи корней.Содержательные результаты об относительных задачах совпадения, корней известны лишь для отображений пар многообразий (о задаче неподвижной точки — полиэдров); кроме того, для совнадепий и корней обычноограничиваются нростейшим случаем — равных размерностей отображаемого пространства и пространства-образа, так что рассматриваемое множество точек, вообще говоря, конечно, (Отметим, однако, работы У. Кошорке [73], [74], посвященные задаче совпадения нри различных размерностях.) Потому и относительную задачу нрообраза имеет смысл рассматривать лишь для пар многообразий, при соответствующих размерностныхограничениях. В случае же общих топологических пространств, а такжепроизвольных размерностей, можно поставить, первоначально — для классической (не относительной) задачи прообраза, более простой вопрос: овозможности одновременного "уничтожения" всех топологически несущественных классов Нильсена. Для задач корней и совпадения этот вопросбыл рассмотрен Р. Бруксом [30]. Укажем также на работу [47], где (длязадачи корней) ставится и изучается вонрос о возможности одновременной минимизации всех классов Нильсена, т.е. о существовании такой гомотонии, что все классы одновременно достигают своего минимальногоколичества точек (в частности, все топологически несущественные классыодновременно исчезают).Важным нродвижением является объединение и обобщение теорем Брукса, т.е. получение аналогичного результата для задачи нрообраза.Результаты Брукса получены для локально линейно связных пространств.В случае пространств с "плохой" локальной структурой развить теориютипа Нильсена уже не удается. Однако для нары отображений сильно многообразно-подобных пространств (термин введен в диссертации) известноопределение числа типа Лефшеца: его отличие от нуля гарантирует существование точки совпадения [4]. Нредставляет интерес введение аналогичного числа для задачи прообраза. Отметим, что каждая компактнаясвязная конечномерная группа согласно теоремам Нонтрягина и Баума[22] является сильно Go-подобпой, где Со — пекоторая группа Ли. Другому специальному классу сильно Go-подобных пространств, называемыхобобщенными соленоидами, посвящена работа [5].Вопрос о существовании общей неподвижной точки коммутирующихотображений континуума в себя рассматривается во многих работах, см.статьи [44], [61], [27] для отрезка, работы [62], [53], [54] для деревьев и (Л)дендроидов. Грэй и Смит ноставили [54] вонрос о существовании общейненодвижнои точки у семейства коммутирующих открытых отображенийдендрита в себя. Интересно обобщить известный результат Фолкмана [44]на случай более чем двух отображений, нолучив тем самым ответ на ослабленный вопрос Грэя-Смита (для отрезка). В такой ситуации важно учитывать динамику отображений, поэтому необходимо применение соответствующих методов.К исследованиям Ритта [93] восходит неречисление всех пар коммутирующих многочленов, см. [26] (которое позволяет исследовать существование общей неподвижной точки на прямой действительных и плоскостикомплексных чисел). Интересно нолучить "ненрерывный" аналог теоремыРитта о коммутирующих многочленах.Решению перечислепных вопросов и посвящепа данная работа.В данной работе леммы, предложения, теоремы, следствия и замечанияимеют номера из двух чисел, первое из которых — номер главы, а второе —номер леммы (предложения, теоремы, следствия, замечания) в этой главе.Определения нумеруются сквозным образом.Обозначения и соглашенияПространстваДля полиэдра X через Х "^^ обозначается его гг-мерный остов; / — отрезок [0,1]; Е" — п-мерное евклидово пространство; D\ ф^ — открытый(замкнутый) шар радиуса Л в М", для R=l пишем также D" [D'^).Через X" обозначается произведение п копий пространства X; еслиАс X, то Л Л С X" — образ А при диагональном произведении п влоожений Л м- X. Для подпространства А С X через дА (Л, А, X — А)обозначается граница (замыкание, внутренность, дополнение) Ав X.Говоря о it-сечении подмножества М С X х I, имеем в виду множество[M]t = MnXx {t].
Символом х(Х) обозначается эйлерова характеристика пространства X.
ОтображенияКак обычно, idx — тождественное отображение пространства X; fg —композиция отображений /, д. Символ A{/s} обозначает диагональноенроизведение отображений семейства {/«}. Через рг;^ обозначается отображение проекции произведения топологических пространств, одно изкоторых X, на, X.Для топологических пространств X, Y через С(Х, Y) обозначается множество всех непрерывных отображений X -> У, снабженное компактпооткрытой топологией.Запись T:I[X,A) = О означает, что X 1-асферично относительно А [60],т.е. индуцированное вложением оображение 7TI{A) —> 7ri(X) сюръективно.
ПрочееСимволами N (Z, Е) обозначаются множества натуральных (целых, вещественных) чисел (тем же символом Z обозначается группа целых чисел).
Через = обозначается гомеоморфизм и диффеоморфизм (из коптекстаясно, что именно подразумевается).
Волна над символом пространства означает его универсальное накрытие, над символом отображения — его поднятие в универсальные накрытия; Dj^ — группа преобразований универсального накрытия рх '• X -^ X,Символами Нт (Я"*) обозначаются сингулярные (ко)гомологии, а символом Н^ — когомологии Чеха (если коэффициентны не указаны, подразумевается группа Z); Иш (Иш) — предел обратной (прямой) последовательности топологических пространств (групп).
Для подгрупп Gi, G2 группы G через G/(Gi; G2) обозначается множество классов разложения группы G по двойному модулю (Gi, G2).
Через \М\ обозначается мощность множества М. Другие обозначения также стандартны или приводятся в работе по необходимости.
СоглашенияПредполагается, что все рассматриваемые пространства хаусдорфовы инормальны, многообразия — без края (как обычно, со счетной базой),отображения непрерывны. Иногда непрерывность подчеркивается специально, но лишь затем, чтобы показать, что от отображепия не требуетсяспециальных свойств. По необходимости указывается, являются многообразия гладкими или же топологическими. Говоря, что многообразие Мявляется подмножеством многообразия N (или что (iV, М) — пара многообразий), мы всегда нодразумеваем, что М есть подмногообразие Л'' (всоответствующей категории).
Краткое содержание работыВ первой главе ставится и исследуется обобщенная задача прообраза,частными случаями которой являются многие известные задачи. Указанасвязь между этими задачами и задачей совпадения в постановке БруксаБрауна. Получено новое описание классов прообраза в термипах накрытийи ноднятий Хопфа, обобщающее известпое описание Брукса и Хопфа классов Пильсена задач корней и совпадения. Доказано свойство инвариантности по гомотопическому типу отображаемых пространств для топологического числа Пильсена Nt{f,B) классической задачи прообраза. Даны разные интерпретации числа Рейдемейстера, либо отсутствующие, либо обсуждаемые вскользь в имеющихся публикациях других авторов. Полученыусловия типа Янга "равноправности" всех классов Пильсепа обобщеннойзадачи прообраза.
Во второй главе изучается задача мипимизации числа классов прообраза, рассмотренная для задач корней и совнадения Бруксом: дано непрерывное отображение f : X -^Y D В, требуется вычислить или оцепитьзначение выраженияMPci(/, В) = min Цклассы Пильсепа мпожества д^{В)}\.Кроме того, доказана теорема о минимизации числа точек прообразана донолнении к нодмногообразию Хо (без нредноложения о его избегаемости в X); в качестве следствий полученных результатов выведены (снекоторыми отличиями) известные утверждения других авторов.В четвертой главе рассматриваются отображения сильно многообразно-подобных нространств. Для задач прообраза и нересечения введенычисла тина Лефшеца и доказана соответствующая теорема.В пятой главе доказаны теоремы об общей неподвижной точке коммутирующих отображений отрезка / = [0,1] в себя.Теорема 5.3. Пусть отображение f — кусочное порядка не менее 2, /« —кусочно-монотонные с конечным числом интервалов монотонности, д непрерывно и все они коммутируют. Тогда у f, {fa}, д существует общаянеподвижная точка.Открытое отображение отрезка в себя является кусочным; таким образом, приведенная теорема обобщает результат Фолкмана и дает частичный ответ на вопрос Грэя-Смита.В случае наличия в семействе кусочного отображения четного порядкаэту теорему можно усилить:Теорема 5.4. Пусть f — кусочное отображение четного порядка, fa —кусочно-монотонные с конечным числом интервалов монотонности, д непрерывно. Пусть f коммутирует с каждым из отображений {fa}, д- Тогда у f, {fa}, д имеется общая неподвижная точка.12Подчеркнем, что здесь не предполагается, что отображения fa, д коммутируют между собой.Кроме того, в пятой главе описаны непрерывные функции, коммутирующие с многочленом Чебышева (здесь имеется в виду ограничение Т„|[_11] :Следствие 5.4. Если отображение д : [—1,1] -> [—1,1] коммутируетс многочленом Чебышева Т^ степени п ^ 2, то имеет место одно изследующих условий:(1) д — постоянное отображение;(2) п четно и д{х) = T^(a;) для некоторого т;(3) п нечетно и д{х) = Тщ(ж) для некоторого т;(4) п нечетно и д{х) = -Тт{х) для некоторого т.Результаты диссертации неоднократно докладывались на конференцияхи семинарах. Перечислим сначала конференции:• 26-ая и 28-ая конференции молодых ученых механико-математическогофакультета МГУ (Москва, 2004, 2006),• 5-й международный топологический симпозиум г. Зиген (Германия)"Многообразия и их Отображения" (2005),• конференция "Колмогоровские Чтения - IV" (Ярославль, 2006),• международная конференция "Александровские Чтения" (Москва, 2006),• "Международная конференция по топологии и приложениям-2006" вг. Аэгион (Греция).Укажем теперь семинары:• научно-исследовательский семинар по общей топологии им. П.С. Александрова (семинар кафедры общей топологии и геометрии механикоматематического факультета МГУ) под руководством профессоровВ.В. Федорчука, Б.А. Пасынкова, В.И. Пономарева и В.В. Филиппова(2001, 2004, 2005, 2006),• семинар кафедры тонологии математического факультета Рурскогоуниверситета г. Бохум (Германия) под руководством профессоровГ. Лауреса, Р. Штокера, Г. Вассермапна (2004, 2005),13• семинар кафедры топологии математического факультета университета г. Зиген (Германия) нод руководством нрофессора У. Кошорке(2005).Тематика работы была поддержана РФФИ (гранты N 00-01-00304,02-01-06596, 03-01-00705) и DAAD.Основные результаты данной диссертации опубликованы в 6 работахавтора [114]-[119].Я выражаю свою глубокую благодарность доктору физико-математических наук, профессору А. Богатому, который руководит моей работойсо второго курса, за постановку интересных задач, постоянную номощь ивнимание.Мне приятно выразить свою призпательность всем сотрудникам кафедры общей топологии и геометрии Московского упиверситета за поддержку.
