Главная » 2014 » Август » 31 » Скачать Задачи без начальных условий для некоторых классов неклассических уравнений. Вафодорова, Гулпари Одинаевна бесплатно
21:20
Скачать Задачи без начальных условий для некоторых классов неклассических уравнений. Вафодорова, Гулпари Одинаевна бесплатно
Задачи без начальных условий для некоторых классов неклассических уравнений
Диссертация
Автор: Вафодорова, Гулпари Одинаевна
Название: Задачи без начальных условий для некоторых классов неклассических уравнений
Справка: Вафодорова, Гулпари Одинаевна. Задачи без начальных условий для некоторых классов неклассических уравнений : диссертация кандидата физико-математических наук : 01.01.02 Москва, 2004 68 c. : 61 04-1/1419
Объем: 68 стр.
Информация: Москва, 2004
Содержание:
Введение 3
Глава 1
Задачи без начальных условий для некоторых параболических уравнений 15
11 Задачи без начальных условий для вырождающихся параболических уравнений 16
12 О единственности решения первых двух краевых задач для уравнения теплопроводности без начальных условий 22
Глава 2
Аналог задачи ГУрса для некоторых дифференциальных уравнений 39
21 Задача Гурса для уравнения иху = а2щ в классе периодических функций 40
22 Аналоги задачи ГУрса для уравнения иху = а2щ в классе целых функций экспоненциального типа 55
Основные результаты 60
Введение:
Начало исследованию задач без начальных условий для параболического уравнения принадлежит А.Н. Тихонову [52], который указал метод исследования задачи без начальных условий для уравнения теплопроводности и дал её первое строгое решение.
Задачей без начальных условий для отдельных параболических уравнений и систем занимались О. А. Олейник, Е.В. Радке-вич, С. Д. Ивасишен, А. Е. Шишков, К. В. Валиков, Н.М. Бокало, И. И. Шмулев, Е. И. Моисеев, А. И. Янушаускас, С. Д. Эйдельман, А. С. Калашников, Н. П. Куликов.
Тем не менее, задачи без начальных условий для вырождающихся параболических уравнений не изучались.
В настоящей диссертации изучаются задачи без начальных условий для вырождающихся параболических уравнений, задачи без начальных условий для неклассического уравнения вида щ = Lit, где L — гиперболический оператор (аналог задачи Гурса).
Первая глава посвящена исследованию задачи без начальных условий для некоторых параболических уравнений.
1. Постановка задачи и результаты. В первом параграфе исследуются задачи без начальных условий для вырождающихся параболических уравнений. Рассмотрим задачу хкихх = а2щ, -ос < к 0, t ? (—00, +00) (1) при граничных условиях
0 = /(*)> (2) где т оо 2Г m = ? л***, = me-^dt. i= 00
Ограниченное решение будем искать в классе периодических функций в виде оо u(x,t) = ^ (3)
I——оо причем функция u(x,t) непрерывно при х > 0, t Е (—оо,+оо) и непрерывно дифференцируема по t и дважды по х при х > 0, t ? (—00,+00).
Решение в этом случае имеет вид u(x,t) =
JfL • , (4) где — функции Ханкеля.
Теорема 1 Пусть // = 0 при |/| > iV, тогда решение задачи (1), (2) существует, единственно и представляется в виде (4), где суммирование идет от —N до N.
Теорема 2 Краевая задача (1), (2) в классе периодических функ-• ций по t и ограниченных на +оо имеет и притом единственное решение, причем от функции f(t) требуется периодичность и удовлетворение условию Гельдера.
Замечание 1 Бели искать решение в классе убывающих при х —У оо функций и периодических по то решение существует и единственно при условии, что /о = 0, т. е. т
J f(t) dt = 0.
Замечание 2 Если искать решение в классе растущих не быстрее некоторой степени х при х оо, то решений линейно независимых существует два. m
Приводится пример, что в случае S = 0 может и не быть. Для второй краевой задачи единственность решения доказана в классе функций u{x,t)\ 0, t G (—оо, +оо), где А, J3, <5 — положительные постоянные.
Формулируется аналог теоремы Лиувилля для регулярных решений уравнения теплопроводности на всей плоскости.
В первом параграфе главы 2 рассматривается задача Гурса для уравнения иху = а2щ в классе периодических функций. 2.1. Постановка задачи и результаты. В области
X + у > О,
X - у < О, —оо < t < +00, требуется определить регулярное решение уравнения
Uxx - Uyy = (7) а со следующими краевыми условиями: оо и\х+у=о = Е к=—оо оо к к=—оо
8) где fk{%) и дк{х) — заданные непрерывные функции 0) = 9к( 0) = 0. Решение будем искать в классе периодических функций по t
00 s,y,t)= Y1 (д) к=—оо
При помопщ метода последовательных приближений и с применением функций Бесселя, получим следующую формулу, дающую решение задачи (7), (8): оо u{x,y,t) = ]Г х к=—оо
Справедливы следующие теоремы.
Теорема 3 Пусть Д(ж), дважды непрерывно дифференцируемы по я, Д = 0, = 0 при > iV,
Д(0) = Pfc(0) = 0.
Тогда формула (10) дает единственное регулярное решение задачи (7), (8).
Теорема 4 Пусть Д, д^ дважды непрерывно дифференцируемы по х, fk(0) = ^jt(O) = 0, далее, пусть сходятся ряды
Ff>exp{W*+?}i exp i l*l>i l*l>i для любого L > 0, где
Gt4 = max |й(т)|,
0<г<2/
F^ = max |Д(г)|,
0
Тогда существует единственное классическое решение задачи (7), (8).
Замечание 3 Если указанные в теореме 4 ряды (11) сходятся для конкретного L > 0, то решение существует при
0
Рассмотрим следующую задачу uxy = a2ut, х > 0, у > 0, t G (—оо,-|-оо) (12) при заданных граничных условиях где f(y,t) и g(x,t) — периодические функции по t и f(0,t)=g(0,t) с периодом 2Т. Тогда имеем
00 к it j f(y,t) = ? к=—оо +оо g{x,t) = ? 3i(i)e'T', к=—оо u*Uo =/*ы>
Л(0) = л(0)=0.
Решение будем искать в виде оо u(x,y,t) = ? ще^* (14) к=—оо в классе периодических функций. Далее, it непрерывна и дважды непрерывно дифференцируема при у > 0, ж > 0, — оо < t < +оо.
Решение задачи (12), (13) можно представить в следующем виде: оо u(x,y,t) = Y, Х оо X х
Теорема 5 Пусть k\ N, т
9{x,t) = Y1 дк(х)еФ* & f dt = О лг т при > N, f{y->t)-> 9{x>t) непрерывно дифференцируемые функции по х, у, и f(0,t)=g(0,t)=0.
Тогда (15) дает единственное регулярное решение задачи (12), (13).
Во втором параграфе главы 2 исследовала задача иху = а2щ, х > 0, у > 0, t G (-оо,+оо) (16) при заданных граничных условиях u(a:,0,t) = f(x,t),
17) u(0,y,t) =g(y,t), где/(0,*)=$(0,*)=0.
Предположим, что функции / и д — целые функции экспоненциального типа конечного порядка по t, f,g е L2(-oo,+oo) по аргументу t и непрерывно дифференцируемые по ж, у. Тогда функции / и д можно представить в виде [11] А
9(У, t) = f eitTG(y, т) dr.
Будем искать решение в классе целых функций экспоненциального типа конечного порядка по t, причем u(x,y,t) е L2(-oo,+oo) по t: А u(x,y,t) = J е**тй(х,у,т) dr. (18)
Для решения задачи (16), (17) получено интегральное представление с использованием функции Бесселя u(x,y,t) =
А х J j eitT Jo (\/2a(l - isignr)y/\r\y{x - s)) Fi(s,r) dsdr +
Поскольку F(x,t) и G(y,r) финитные функции по г, то
Fi = — дх и
G dG 1 ду также финитны по т.
Достаточно потребовать, чтобы f(x,t) и g(y,t) были функциями экспоненциального типа. Справедлива
Теорема 6 Пусть f(x,t) и g(у, t) — целые функции экспоненциального типа по t конечного порядка, непрерывно дифференцируемые по х и у, для которых существуют следующие интегралы по вещественной оси: оо +оо
J \f(x,t)\2dt
Vx, у > О и существует такая постоянная А, что f(x,t)=0(eA* I), g(y,t) = 0(eAl% Vs.yX).
Тогда интегральная формула (19) дает единственное регуляр ное решение задачи (16), (17) в классе целых функций экспонен циалъного типа по t.
