Диссертация

Автор: Черняк, Александр Иванович

Название: Предельные теоремы для условно независимых схем суммирования

Справка: Черняк, Александр Иванович. Предельные теоремы для условно независимых схем суммирования : диссертация кандидата физико-математических наук : 01.01.05 Киев, 1984 142 c. : 61 85-1/1473

Объем: 142 стр.

Информация: Киев, 1984

Теорема 2.1. Если п. —>» по некоторой подпоследовап. то о — w-Rii " = с,— , i,K тельности таким образом, что

Рй = с<) jU J1expi? с*Лгф) = exptl^te^'-i)} где
Также доказывается аналогичная теорема и для количества i -цепочек длины не меньше с п. . Иной подход к решению этой задачи для цепей Маркова с двумя состояниями рассмотрен в работе
Ю7] . Он основан на понятии рекуррентных событий [92"] . Заметим также, что феллеровская теория рекуррентных событий применялась ранее в работе [73] для конечных однородных цепей Маркова. Для знаменателя производящей функции вероятности первого появления любой комбинации на цепи Маркова получен ряд для наименьшего корня в общем случае и конечные формулы для асимптотики этого корня по Пуассону [92] . Следует отметить, что этот аналитический метод решения задачи является более громостким, нежели вероятностный метод, предложенный в § 2.1.
0 , R se А о
Предположим, что оС " единственное максимальное по модулю характеристическое число. Основным результатом § 2.2 является
Теорема 2.5. Если п. — по некоторой подпоследовательности таким образом, что tim not*4"1 - р0 ^ /0.1/
П. —* о© и то ? ^ С^п.) ==!> ? при п. оо по этой подпоследовательности, где ? - пуассоновская случайная величина с параметром
Шкже в § 2.2 исследуется следующий поток редких событий. Если цепь Маркова находится в подмножестве А некоторое время сin*"1 , то происходит т.+i редких событий, А т. ^ о ; ^^tO количество таких редких событий, момент начала которых не превосходит уь
Теорема 2.6. Пусть выполняется условие /0.1/. Тогда
Л СЯ. у.
Ъп^п.) ^^ Sj[ при Yi—по указанной подпоследовательности, где - случайная величина с характеристической функцией вида
У= exp{xoCi-ctHeLX- i)(i-ea } , e Хо= /oZ 3Tddj .
•pj о " г
В случае, если максимальное характеристическое число ос тлеет кратность к > 1 , утверждения теорем 2.5, 2.6 сохранятся, только условие /0.1/ заменяется на следующее: если к. —по некоторой подпоследовательности таким образом,что:
• о -С tim У1Вк ) = f>c
I М. е в, сги =осг П J i= о
При этом в утверждениях теорем
Схема, аналогичная предложенной в теореме 2.6, была рассмотрена в работе [72] . Используя "метод секционирования" С.Н.Бернштейна и известные условия сходимости суммы независимых случайных величин к заданному безгранично делимому распределению [30, с.287] был получен аналогичный результат.
Подобно теореме 2.5 доказывается теорема о предельном поведении количества редких событий, возникающих на траекториях двух независимых цепей Маркова с одинаковым конечным множеством состояний. Здесь под редким событием длины Z понимается следующее событие
3ea)(?+rn)= , уп. = oT^i f при ? ? 1
В заключении § 2.2 сформулировано утверждение для количества выбросов времен пребывания полумарковского процесса за высокий уровень.
В третьей главе "Предельные теореш для сумм слабозависимых случайных величин" исследуются схемы суммирования случайных величин, удовлетворяющих условию равномерно сильного перемешивания, определенных на стационарной последовательности, на цепи Маркова и на полумарковском процессе с дискретным временем и произвольным пространством состояний.
В § 3.1 доказывается вспомогательная теорема для сумм зависимых случайных величин в схеме серий. Довольно общие условия для выполнения центральной предельной теоремы для сумм зависимых случайных величин приведены в [ 68 ] .В [36, 67, 68] указан перечень основных работ, относящихся к этому направлению. При доказательстве теореш 3.1 использовалась стандартная методика, связанная с построением специальных оценок для разности между характеристическими функциями случайного процесса, построенного по сумме зависимых случайных величин и предельного процесса. Она применялась при доказательстве центральной предельной теоремы для сумм зависимых случайных величин [100, 101} , для сумм мартингал-разностей [96, 97, I02*J , для доказательства сходимости сумм зависимых случайных величин к безгранично делимым законам [98, 103, 104] . Следует отметить работу [ЮЗ] , где получены общие условия, достаточные для сходимости сумм зависимых случайных величин к безгранично делимым законам. Иной подход для исследования сумм зависимых случайных величин предложен в [27] . Суть его заключается в том, что суммы случайных величин предста-вимы в виде сумм мартингал-разностей и для проверки условий предельных теорем для них нужно доказывать вспомогательные предельные теоремы типа закона больших чисел.
В § 3.2 теорема 3.1 применяется для доказательства следующей теоремы.
Пусть .} 1 , Is 1,2,. . - последовательность случайных величин, заданных на вероятностном пространстве
Чпк , Ь С0,Ц . i
Теорема 3.2. Если последовательность , k.= l, п. удовлетворяет условию равномерно сильного перемешивания с функцией перемешивания Ч5^^) , к^ о такой, что , tim liZ Ск) = 0 и для любых —» во УЛ. "Х> lim ) = «.fA.i),
•с=1 где а(*,-Ь) непрерывна по i и а. (± о ,-t ) эо ,4:е[о»П > к ,
Z-ZMIe'^^-il2 <сАt/ УХ. X и /^с} = о, то
Уп im ttexp{i Е } = n — d=i
1 к-i <) = ! x = j*i
K-jtl ^.^ t^ •
В § 3.3 исследуется предельное поведение сумм случайных величин, определенных на стационарной последовательности или цепи -Маркова с произвольным пространством состояний.
•Jnicx)Jrcdx) , ЗГ(А^вР{*со)еА}, Ав Вх X
Подобные схемы исследовались многими авторами. Центральная предельная теорема для последовательностей случайных величин, связанных в цепь Маркова / однородную или неоднородную / либо для стационарных последовательностей рассматривалась в работах
2, 3, 24, 27, 42, 43, 45, 46, 51, 52, 71,75, 78, 83, 90, 95] и др. В работах [i, 51, 74, 99] исследовались условия сходимости сумм случайных величин, связанных в цепь Маркова либо заданных на стационарной последовательности к устойчивому закону. Теоремы типа принципа инвариантности для полумарковских процессов приведены в [54, 106 ] . Схемы суммирования на стационарных или марковских процессах с произвольны!.! пространством состояний исследовались также в работах [6, 12, 25, 55 ] и др. Основным результатом § 3.3 является Теорема 3.3. Если
1Л wl схсо) ^ — ,
Ie i -f об Z Л
Kl —•» «*=>
II. об = г и т АЛе = ? , fc ,
0.3/ и где с = /Чс(Х(о)) , я 00 1Л{ in(X(o)) - т м (™(X(o))-m)( w(x(K))-m)
Т&кже доказывается аналогичная теорема и для цепей Маркова с произвольным цространством состояний и произвольным начальным распределением.
В § 3.4 результаты § 3.3 обобщаются на схему серий.
R. , распределение которых не зависит от индекса к: , и при каждом к - случайная величина,
М еЛт^сх) - I а |*СЛС*> + 0Л(х, |а|*),
L 8Х -измеримые действительные функции, причем
СцОО положительная. В этом случае ± ^ f, Р{ х*(ои А] , Ас 6Х • X
Теорема 3.5. Если при и. сл.
Jr«. С- )=> Л С' ) ,
0.4/ где jl (А) , Ае 8х - некоторая вероятностная мера на
•йкп = тех) , /0.5/
К ОО tm СкиСХ)= ССХ) /0.6/
Уг—• оо равномерно по х <г X » ГДе и ССХ) - Вх измеримые, почти всюду по мере J7(- ) непрерывные функции, m. sup Ufto^CX, 1МЛ)|»0 , /n 7/ йт YL - о, /0-8/ д/ —* оо —» ос. К ^ Л/ и существует конечный предел dm tim Ц М(щЛСХЛ(0))-щЛ)(щи(ХЛ(»О)ло И ое то справедливы утверждения теореш 3.3 : /0.2/ и /0.3/, где
С = jccx)X(dx) , (э^ J(w.CX)-KKL)2X(dx) +г(г , X т JmCX)JTCdx) , 2г = J ж^ОТЫх).
Аналогичный результат справедлив и для цепей Маркова с произвольным пространством состояний и произвольным начальным распределением.
В заключении § 3.4 приведена подобная теорема для разложения l а эЛ
С и. C^f^) некоторая комплексная функция, которая при любом фиксированном равномерно оганиченная относительно п на множестве X и ®Х -измерима,
Re с^с^х) * о.
В этом случае вместо условий /0.6/, /0.7/ требуется выполнение следующих условий km CK (a, X ) /0.10/ равномерно по X? X при любом фиксированном /\ и
SUp ^ I О и. СХ , =0 . /0.11/ и.-*«=>о хе-Х'
Доказана теорема о сходимости процессов ступенчатых сумм Г Р-Е (^Ск^ОО)-™*) , [Ml в J" -топологии Скорохода [84] к однородному процессу с независимыми приращениями с кумулянтой cm » если
В § 3.5 рассматривается схема суммирования на полумарковском процессе с дискретным временем и произвольным фазовым пространством.
Пусть ijn (»с) , к as о - полумарковский процесс с дискретным временем со значениями в произвольном метрическом пространстве С , В^ » J3 ) » Для которого заданы вложенная эргодическая цепь Маркова х^С < ) , к ^ о и семейства независимых от ) ив совокупности случайных векторов
А В^ " стационарное распределение цепи, и справедливо представление /0.9/. Обозначим через
4ГЛ1 JS^E ( S* ( " пги.) , f? [0,11 , где I ha п. X
Схемы суммирования на полумарковском процессе исследовались в работах [5 , 54 , 61, 64 - 66, 80, 1061 и др. Основным результатом § 3.5 является
Тзорема 3.8. Если выполняются условия /0.4/, /0.5/, /0.8/, /0.10/, /0.II/ И d'rn 8,(x)=g(X), 6т ^CX)-V(X)
Д / ^ ^СА), если J3* = о (У*) где C^C*)1* f С(* ,X)B(x)3lC(x)ji(jxyc[j| X
U= [х/00(тсх>-т)2- мсх)Е>(Х)]5Г(с1х), B=j8(x)3T(Jx).
Заметим, что в случае J*rv= V*. / центральная предельная теорема / аналогичный результат был получен в [бб] для однородных процессов с независимыми приращениями с полумарковскими переключениями. При этом для доказательства применялся метод асимптотического анализа уравнений марковского восстановления для производящих функций переключаемых процессов уклонений, основанный на предельной теореме обращения сингулярно возмущенных операторов.
В приложении приведены некоторые важные предельные теоремы из теории сходимости случайных процессов, которые многократно используются в диссертационной работе.
Завершает диссертацию заключение, в котором даются основные выводы работы.
Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору В.В.Анисимову за постановку задач, обсуждение результатов и постоянное внимание к работе.

Скачивание файла!

Для скачивания файла вам нужно ввести
E-Mail: 6616
Пароль: 6616
Скачать файл.