Главная » 2014 » Август » 20 » Скачать О распределении значений L-рядов Дирихле. Преображенская, Татьяна Анатольевна бесплатно
06:54
Скачать О распределении значений L-рядов Дирихле. Преображенская, Татьяна Анатольевна бесплатно
О распределении значений L-рядов Дирихле
Диссертация
Автор: Преображенская, Татьяна Анатольевна
Название: О распределении значений L-рядов Дирихле
Справка: Преображенская, Татьяна Анатольевна. О распределении значений L-рядов Дирихле : диссертация кандидата физико-математических наук : 01.01.06 Москва, 2006 64 c. : 61 06-1/459
Объем: 64 стр.
Информация: Москва, 2006
Содержание:
Глава 1 О расстоянии меткду соседними нулями L-функцииДирихле, лелсащими на критической прямой
§1 Функция Z^{t)
§2 Преобразование формулы для Z^{t)
§3 Основная теорема
Глава 2 О существовании малых значений дзета-функцииРимана и L-функции Дирихле на коротком проме:жуткекритической нрямой
§существовании малого значения дзета-функции Риманана коротком нромежутке критической нрямой
§, существовании малого значения L-функции Дирихле накоротком промежутке критической ирямой
Глава 3 О постоянной в оценке числа последовательныхквадратичных вычетов
§1 Новый вариант неравенства Дэвеннорта—Эрдёша
§2 Леммы из теории диофантовых нриближений
§3 Основная теорема
Введение:
Теория L-функций Дирихле развилась в одно из важнейших вспомогательных средств аналитической теории чисел. Вольшую роль в приложениях играет исследование нулей L-функций Дирихле.Вопрос о расстоянии между соседними нулями L-функций, лежап],имипа критической прямой, рассматривается в первой главе диссертации. Отметим, что подобную проблему для дзета-фупкции Римана исследовалиГ. Харди, Д. Литтлвуд, Я. Мозер, А.А. Карацуба.Своего рода обобщением задачи о расстоянии между соседними нулями является задача о существовании малых значений. Во второй главедоказаны теоремы о существовании малых значений L-функций Дирихлеи ^-функции Римана на коротких промежутках критической нрямой.Пусть неравенство \Z{t)\ ^ М выполнено на всем интервале (Т,Т-\-h)длины h. Максимальную из таких длин h обозначим через Н = Н{М, Т).В третьей главе рассматривается задача об оценке максимального чисВведениела Н носледовательных целых чисел, таких, что все они являются либоквадратичными вычетами, либо квадратичными невычетами по модулюпростого числа р.Эта задача является логическим нродолжением задачи о наименьшемквадратичном невычете по простому модулю, постаповка которой принадлежит И. М. Виноградову. В 1914 г. он дал элементарное доказательствоквадратичного закона взаимности, в котором использовалась оценка Гаусса для наименьшего квадратичного невычета порядка корня квадратногоиз модуля. В 1918 г. И. М. Виноградов [7] получил оценку наименьшегоквадратичного невычета в арифметической прогрессии. Она имеет вид:где р—простое число, Пр—наименьший квадратичный невычет по модулюРВ 1926 г. И. М. Виноградов [8] обобш;ил эту оценку на степенные невычеты и дал оценку наименьшего нервообразного корня. В 1952 г. Г. Дэвенпорт и П. Эрдёш [21] уточнили стенень логарифма в оценке (*). В том жегоду И. М. Виноградов [9] получил оценку суммы характеров по «сдвинутым» простым числам, где он нашел оценку момента четвертой степениот неполной линейной суммы характеров, что уже позволяло улучшитьоценку наименьшего невычета.Ю. В. Линник и А. Реньи в начале пятидесятых годов получили рядусловных результатов по проблеме наименьшего квадратичного невычета,которые связывают эту задачу с оценкой модуля L-функций Дирихле наединичной прямой [10].7ВведениеВ 1957 г. Д. Берджесс получил современную оценку для наименьшегоквадратичного невычета, которая, грубо говоря, является корнем квадратным из оценки (*), В дальнейшем А. А. Карацуба [14] дал новый вариант доказательства оценки Д. Берджесса и решил ряд родственных задач,связанных с распределением значений сумм характеров на разнообразныхарифметических последовательностях.Возврап],аясь к задаче о числе последовательных квадратичныхвычетов (невычетов), отметим следуюш,ее: в 1918г. Г, Пойа [20] иИ. М. Виноградов [7] нолучили неравенствоп<Ха, следовательно.р^/^ log р.В 1952 г. Х.Дэвенпорт и П. Эрдёш [21] показали, чтоНСовременный порядок оценки величины Н был получен в 1963 г.Лемма 3. Пусть г — положительное целое число. Справедлива формулаЛемма 4.(см. [25]) Пусть ( - 1 — символ Леотандра, / 6 ^р[х\ — нормированный многочлен полоэюительной степени, не являющийся квадратом другого многочлена. Если d — число различных корней многочлена/ в его поле разложегтя над ?р, то справедлива оценка(Следующие леммы из теории диофаптовых приближений, наряду с теоремой 4, являются ключевыми в доказательстве основной теоремы 5.ЕслиР / \ Р J \ РтоВ заключение автор приносит благодарность научному руководителюд.ф.-м.н., профессору В. Н. Чубарикову за поставленные задачи и внимание к работе, а также д.ф.-м.н., профессору Г. И. Архипову за полезныеобсуждения.
