Классификация интегрируемых эволюционных векторных дифференциальных уравнений третьего порядка
Диссертация
Автор: Балахнёв, Максим Юрьевич
Название: Классификация интегрируемых эволюционных векторных дифференциальных уравнений третьего порядка
Справка: Балахнёв, Максим Юрьевич. Классификация интегрируемых эволюционных векторных дифференциальных уравнений третьего порядка : диссертация кандидата физико-математических наук : 01.01.02 / Балахнёв Максим Юрьевич; [Место защиты: Белгород. гос. ун-т] Орел, 2009 127 c. : 61 09-1/379
Объем: 127 стр.
Информация: Орел, 2009
Содержание:
Введение
1 Анизотропные уравнения на сфере
11 Основная теорема
12 Авто-преобразования Беклунда
2 Уравнения специального вида в М"
21 Уравнения не содержащие и
211 Основная теорема
21/2 Авто-преобразования Беклунда
22 Изотропные уравнения при условии огс! /о ^ 1
221 Основная теорема
222 Авто-преобразования Беклунда
23 Другие интегрируемые случаи
3 Дифференциальные подстановки первого порядка
31 Основные теоремы
32 Точечные преобразования
33 Дифференциальные подстановки в
4 Формулы суперпозиции
41 Обобщения мКдФ
42 Уравнения типа мКдФ
43 Изотропные уравнения на сфере
44 Анизотропное обобщение уравнения Щварц-КдФ
45 Обобщение уравнения Ландау-Лифшица
Введение:
Классификация интегрируемых эволюционных уравнений и систем, а также изучение различных их свойств, входит в число приоритетных направлений научных исследований РАН и является известной тематикой в исследованиях большого числа современных математиков и физиков как в нашей стране, так и за рубежом. Интерес к этому направлению объясняется тем, что интегрируемые эволюционные уравнения и системы имеют приложения в математике и физике. Именно, наблюдение физического явления способствовало открытию первого интегрируемого эволюционного уравнения - уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ).
В августе 1834г. Скотт Расселл, изучая пропускную способность канала Юнион, который начинается у Эдинбурга, соединяется с каналом Форз-Клайд и тел г самым соединяет оба побережья Шотландии, стал свидетелем необычайного и красивого явления и назвал его «большая уединенная волна». Расселл затем классифицировал волновые движения жидкости и проводил эксперименты с водой, чтобы их наблюдать [1]. Позже Буссинеском была получена более точная модель волн на воде, так называемое уравнение Буссинеска [2]. Уединенная волна привлекла внимание многих физиков, пытавшихся найти ее аналитическое описание вплоть до 1895 года, когда появилась работа Кортевега и де Фриза [3].
Открытие Гарднером, Грином, Краскалом и Миурой в 1968 году замечательного факта, что для уравнения КдФ существует аналитический метод решения задачи Коши [4], и сделанное впоследствии открытие, показавшее, что аналогичные методы применимы к уравнению спнус-Гордои и другим нелинейным уравнениям, вызвали революцию в математической физике 1970-80-х годов. Новый фундаментальный метод интегрирования дифференциальных уравнений получил название метода обратной задачи рассеяния.
Появившись впервые в теории волн на мелкой воде уравнение КдФ, встречается сегодня в теории решеток, физике плазмы и магнитной гидродинамике [5]. Приложения другого известного уравнения синус-Гордон охватывают такие различные области, как дислокации в кристаллах, джозефсоновские сверхпроводящие контакты, волны зарядовой плотности в одномерных органических проводниках и модели теории поля.
Именно приложения во многих областях физики объясняет повышенный интерес к различным интегрируемым эволюционным уравнениям и системам. Естественным образом возникает вопрос: существуют ли еще уравнения, кроме, например, КдФ или синус-Гордон, обладающие такими же свойствами? Анализ свойств известных уравнений позволяет развивать методы их классификации - получения новых интегрируемых случаев.
На первой Киевской международной конференции в 1979 г. А. Б. Шабат сформулировал основные принципы симметрийного подхода к классификации интегрируемых уравнений, базирующегося на явных условиях интегрируемости. В этом же году, довольно близкий по духу подход был предложен в работе [6], но идеи этой работы не скоро получили должное развитие.
Первыми публикациями на тему явных условий интегрируемости для эволюционных уравнений являются работы [7, 8], в которых были введены понятия формальной симметрии и канонических плотностей. В работе [9] показано, что существование пары высших законов сохранения влечет за собой существование формальной симметрии. Кроме того, в этой работе представлен полный список уравнений вида щ = иххх + /(и,их,ихх), обладающих высшими законами сохранения.
Симметрийный подход был расширен Р. И. Ямиловым на бесконечные системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений типа цепочки Тоды [10]. Эффективность методов А. Б. Шабата была продемонстрирована и при классификации нелинейных уравнений типа уравнения Клейна - Гордона [11]. В [12] получен полный список интегрируемых цепочек вида (un)t = f{un-Uumun+1).
Классическая теория контактных преобразований совмещена с сим-метрийным подходом С. И. Свинолуповым в работе [13], посвященной проблеме классификации уравнений типа Бюргерса. Интегрируемые уравнения 5-го порядка были проклассифицированы в [14]. Схема классификации интегрируемых уравнений в векторном случае была обобщена в [15]. После этого в [16] и [17] был получен полный список интегрируемых уравнений типа нелинейного уравнения Шредингера, а в [18] описаны контактные преобразования для них.
Симметрийный подход обсуждался и в статье A.C. Фокаса [19], где перечислены все уравнения вида ut = иххх + f(u,vx), обладающие хотя бы одной высшей симметрией пятого порядка. Уточнение понятия формальной симметрии, алгоритмический способ вычисления явных условий интегрируемости, развитие классической теории преобразований и ряд других оригинальных результатов содержатся в обзорных статьях [20, 21, 22]. Многочисленные работы по классификации и изучению симметрийных свойств интегрируемых уравнений [23] - [48] говорят о неугасающем интересе исследователей к данной тематике.
Для того чтобы пояснить основные понятия и методы исследования используемые в диссертации, рассмотрим уже упомянутое уравнение КдФ: du(x,t) д3и(х, t) du(x,t) dt = -gsr- + 6 -ЯГ' (1)
Из (3) следует ит — 1 + 6 Ьих и, так как, (1) выполняется тождественно относительно т, то частная производная ит удовлетворяет линейному уравнению
1Ч?)3-би?-бц*)К)=0' (4) то есть функция / = 1 + 6?г/ж удовлетворяет (4). Любая функция / от переменных х: и, их, иХХ1 • • ?, (5) удовлетворяющая (4), называется симметрией уравнения КдФ. При этом подразумевается, что после подстановки /(.т, и, их,.) вместо ит в (4) все производные щ, . выражены через переменные
5) с помощью уравнения (1). После этого соотношение (4) должно превратиться в тождество относительно независимых переменных (5). Симметрии к = /г<+/2х +./;?, /г = лч*, (6) называют классическими, так как в этом случае симметрия порождает однопараметрическую группу преобразований. Симметрии, не имеющие вида (б), обычно называют высшими. Простейшим примером такой симметрии для (1) является функция 2 = иххххх + 10 и иххх + 20 их ихх + 30 и их.
Определение симметрии легко обобщить на произвольную систему дифференциальных уравнений в частных производных = (7) где а = 1,.
Определение 1. Векторное поле аа называется симметрией (7), если оно удовлетворяет системе уравнений дНа г ди? ?
О, (8) где многообразие М определено дифференциальными следствиями (7):
Щ X, ^ <) = о, П,к = 0,1,.
Здесь операторы Дг и введены слсд\ггощтш образом: ^ д в д д 0 д
Одним из главных объектов в симметрии пом подходе к классификации интегрируемых методом обратной задачи рассеяния уравнении является бесконечное множество канонических сохраняющихся плотностей. Связи между симметриями и законами сохранения описываются известной теоремой Э. Нетер. Например, инвариантность нелинейного уравнений Шредингера гфг = Фхх + Щ2,Ф относительно фазового преобразования ф —>? егтф приводит к закону сохранения (гф*хф гф*фх)х с сохраняющейся плотностью \ф\2.
Определение 2. Если существуют функции р и в зависящие от конечного числа переменных (?, х, и^) и удовлетворяющие равенству
В±р = ВхВ, 7 выполненному на любом решении (7), то говорят, что (7) имеет дифференциальный закон сохранения. Функция р называется сохраняющейся плотностью, а функция 9 - плотностью тока.
Общие свойства законов сохранения эволюционных систем изучались, например, в работах [49] - [58], а в работах [59] - [65] исследованы законы сохранения для конкретных эволюционных систем. Работа [6] (см. также [66] и [67]) дала толчок развитию нового метода вывода канонических плотностей при исследовании интегрируемости нелинейных уравнений. Метод сформулированный на уровне гипотезы затем был проверен на большом числе примеров [68]. Мотивировка использования так называемого "китайского"метода и некоторые его приложения даны в работе А. Г. Мешкова [69].
Интегрируемую методом обратной задачи рассеяния систему дифференциальных уравнений (7) часто ассоциируют с линейной системой фх = 1/ф,фг = Уф, (9) где ф(х, ?) — столбец неизвестных функций, а матрицы II, V зависят от (х, Условие совместности (9) записывается следующим образом
АС/-ИхУ+[и,У\ =0, где [*,•]- коммутатор матриц, и называется представлением нулевой кривизны для (7).
Важным свойством интегрируемых методом обратной задачи рассеяния уравнений является то, что они допускают бесконечную последовательность законов сохранения. Рассмотрим способ построения сохра няющихся плотностей на примере уравнения КдФ. Подставив вышеуказанные матрицы и и V в (9) можно получить систему уравнений:
Фхх + иф- ц2ф = 0, (10)
•ф± = 4фххх + 6ифх + Зихф - 4ц3ф, (11) которую называют представлением Лакса для уравнения КдФ.
Дифференцируя уравнение (13) по ж мы можем записать его, используя (12), в следующей форме рь = дх[(2и + 4р2)р-их]. (14)
Если искать решение (12) в виде ВКБ-разложений оо
Р = + Рп(-2^)п, (15)
71=0 то мы получим известную рекурсионную формулу [70]
Рп+1 = Охрп + 71 = 1,2,. р0 = 0, Р1=Щ (16) г=1 а (14) приводит к бесконечной серии законов сохранения:
АРт* = Аг(2ирп - Рп+2), п > 0. (17)
Поскольку и - есть решение КдФ, мы заменили частные производные в (17) на оператор эволюционной производной Dt и оператор полной производной по х - Дг. Полученные законы сохранения называют каноническими, несколько первых из них имеют вид: р2 = П!, рз = и2-\-и2: р4 = Асргг + г/2),. • ?
Таким образом, имея представление Лакса, мы построили рекуррентную формулу для сохраняющихся плотностей уравнения (1).
Замечателен тот факт, что канонические плотности уравнения КдФ могут быть построены и при использовании только временного уравнения (13). Так, положив / р (1х = 0 находим из (13) р)2р + бир + 3их - 4//3 = 0 (18)
Используя ВКБ-разложения со со
71=0 71=0 мы получаем из (18) следующую рекурсионную формулу:
71+1 , П ч л
1 4 2 р1рп-г+1 - д РгРэРп-г-з ^ &п хРп
0 М—0 2ИХ ^рп+1 - РгРп-^ и5п-1 + щ5п, о, п =-2,-1,0,. где - символ Кронекера. В полученном выражении р0 = 0, рх = и, Р2 — щ — (90/3 и так далее. Так как — Их0о и р0 — 0, то 90
0. Следующие канонические плотности рп,п > 2 зависят от #п2, при этом члены вп определяются из уравнений = Пх9п. Например,
0\ — и2 + 3 и2.
Рассмотрим указанный метод построения канонических плотностей для эволюционных систем щ К(и, их:., ип), х) 1, и% = д*иа. (19)
Основная идея - использование вместо (19) линеаризованного уравнения - = 0 (20) или сопряженного к нему + К+)<р = 0, (21) как временного уравнения Лакса. Здесь
К.фг=? тт^- = п.в 0и<1 п.в """
А = I + ? лгонй. д, = I + а
•п — „>а --п
В. В. Соколов в работах [71] и [72] предложил бескомпонентную версию симмстрпйного подхода для классификации векторных уравнении. Используя эти идеи, мы провели классификацию интегрируемых векторных эволюционных уравнений вида:
Переменные и: их: ихх,. считают независимыми и используют обозначения: их = и1: ихх = и2: иххх = и3,--------(23)
На функции /г можно накладывать различные ограничения, будем считать, что они зависят только от скалярных произведении
Щд] = {ии и5), 0 < г < 3 < п. (24)
Предложенная модификация симметрийного подхода обобщается в [72] и на случай, когда в пространстве V определено два различных скалярных произведения. В этом случае расширяют множество динамических переменных (24) путем добавления дополнительных переменных
М = (иг: из>5 j ^ П, (25) построенных по второму скалярному произведению. Целое число з называют порядком переменных (24) и (25). Порядком функции от переменных называют наивысший из порядков переменных, от которых она зависит. Мы далее считаем, что функции /г в (22) имеют порядок не выше 2.
Важно подчеркнуть, что мы исследуем уравнения, которые являются интегрируемыми при любой размерности ТУ вектора и. При этом мы предполагаем, что коэффициенты в (22) не зависят от N. Ввиду произвольности IV, переменные (24) п (25) можно считать независимыми. Функциональная независимость переменных и^], г ^ з -это решающее требование в пашем исследовании. Если N фиксировано, то этого нельзя утверждать. Например, если N — 3, то определитель с элементами г,з = 1,2,3,4 тождественно равен нулю. Отметим также, что для нас несущественна реализация метрик в V, так как мы используем в данном исследовании только самые общие свойства скалярного произведения - билинейность, симметричность и непрерывность." Ясно, что конечномерность или вещественность пространства V также не важны.
Примерами интегрируемых изотропных уравнений, зависящих только от переменных (24), являются векторные обобщения модифицированного КдФ:
Эти и другие примеры интегрируемых векторных уравнений можно найти в статьях [73, 74]. Некоторые из них тесно связаны с такими алгебраическими и геометрическими объектами, как йордановы тройные системы и симметрические пространства [75] - [78].
Необходимые условия интегрируемости для векторных уравнений (22) были определены в [72] и имеют вид законов сохранения где рг, 9{- функции переменных (24) и (25), которые рекурсивно выражаются через коэффициенты уравнения (22).
Локальным законом сохранения для эволюционного векторного уравнения (22) называют всякое соотношение вида (29), где оператор полной производной по х - Их и оператор эволюционной производной определяются следующим образом:
Щ = и3 + (и, и) их, щ = и3 + (и, и) их + (и, их) и,
1>(р;=Дс0;, г = 0,1,2,.
29) д д д п*(из + Я*2 + А"1 + дП; Ы д ди,'
0 " " г=0
Правила дифференцирования скалярных произведений щ^] = (г^, и^) и й[гд\ — (г?г,wJ?) вытекают из равенства Дтщ = и билинейности скалярного произведения. Эволюционная производная Dt вычисляется по правилу дифференцирования сложной функции.
В результате мы получим уравнение типа Риккати:
А + Я)2Я + /2(А + Я) Я + Л Я + /о = Г, ПХГ = АЯ- (30)
Это уравнение имеет формальные решения в виде оо оо
Л = + Р = А-3 + ^ 9пХп (31) п=0 п=0
Подставив (31) в первое уравнение (30) мы приходим к следующей реккурентной формуле: 1 Рп+2 ^ 1 3 -А
77 /О ^П,0 — 2/2 рп + 1 — /2 ВхРп — Л Рт
2 ^ Рз Рп-3 + ^ РзРк Рп-З-к + 3 Ре Рп-3+1 в=о й=0
1 П 1 о Р* Рп3 + Ч ^
Рп П ^ 0.
Здесь 5г.1 символ Кронскера и
Теперь, используя (31), мы получаем из второго уравнения (30) бесконечную серию законов сохранения Dtpn = Dx0n, п — 0,1, 2,., где рп и вп функции переменных (24) и (25).
Рекурсионная формула позволяет находить функции вп из Dtpn = Dx9n, поскольку выражения для рп содержат i ^ п — 2. Например,
92 = /о + ^во + i/i /2 - Dx(± fi + ^Dxf2 - i л), и так далее.
Таким образом, условия Dtpn = Ас^п позволяют найти явный вид функций fi, так как рп определяются через коэффициенты fi уравнения (22). Другими словами, условия Dtpn = Dx9n являются уравнениями для определения В частности, как показано В.В. Соколовым и А.Г. Мешковым, четные канонические плотности тривиальны, то есть р2п — DxXn, п = 0,1,., что влечет, согласно (32), /2 ? ImD. Таким образом, не теряя общности, можно считать /2 — 3/2 Dx(lii f), где ord/ = 1.
В первой главе диссертации представлена классификация анизотропных уравнений в §п. Вторая глава посвящена классификации уравнений вида (22) в М71 с некоторыми ограничениями на /?. Эти ограничения возникли по техничеким причинам: в этих случаях удается получить полный список интегрируемых векторных уравнений. В качестве доказательства точной интегрируемости всех полученных уравнений найдены авто-преобразования Беклунда для них. Дифференциальные подстановки первого порядка изучены в третьей главе. В четвертой главе получены формулы суперпозпции п решения для наиболее известных векторных уравнений.
