Главная » 2014 » Июль » 27 » Скачать Интегрирование геодезических потоков и релятивистских волновых уравнений на однородных пространствах. Магазев, Алексей Анатольевич бесплатно
05:36
Скачать Интегрирование геодезических потоков и релятивистских волновых уравнений на однородных пространствах. Магазев, Алексей Анатольевич бесплатно
Интегрирование геодезических потоков и релятивистских волновых уравнений на однородных пространствах
Диссертация
Автор: Магазев, Алексей Анатольевич
Название: Интегрирование геодезических потоков и релятивистских волновых уравнений на однородных пространствах
Справка: Магазев, Алексей Анатольевич. Интегрирование геодезических потоков и релятивистских волновых уравнений на однородных пространствах : диссертация кандидата физико-математических наук : 01.04.02 Омск, 2004 109 c. : 61 05-1/476
Объем: 109 стр.
Информация: Омск, 2004
Содержание:
1 Функции Казимира и группы Ли с неполуотделимым пространством орбит
1 Орбиты коприсоединенного представления Структура орбит
2 К-орбиты и дикие группы Ли
3 К-орбиты, однородные пространства и ^-алгебры инвариантных функций
2 Интегрирование геодезических потоков на однородных пространствах
4 Метрики на однородных пространствах
5 Свойства геодезических потоков для центральных метрик
6 Построение канонического преобразования
7 Интегрирование геодезических потоков на однородных пространствах
71 Интегрирование геодезических потоков с G-инвариантными метриками
72 Интегрирование геодезических потоков с центральными метриками
73 Геодезические потоки на однородных пространствах с биинвариантными метриками
8 Классификация четырехмерных однородных G-пространств с интегрируемыми геодезическими потоками
3 Гамильтоновы системы в вариациях и интегрирование уравнения Якоби на однородных пространствах
10 Гамильтоновы системы в вариациях И Геодезические потоки и уравнение Якоби на римановых многообразиях
12 Расширенные геодезические потоки на однородных пространствах с инвариантными и центральными метриками
13 Интегрирование геодезического потока и уравнения Якоби на плоскости Лобачевского
4 Интегрирование квантовых уравнений на однородных пространствах с центральными метриками
14 Квантовые уравнения на однородных пространствах с центральными метриками
15 Редукция квантовых уравнений на однородных пространствах
16 Интегрирование квантовых уравнений и вычисление функций Грина на однородных пространствах с центральными метриками
Введение:
Несмотря на впечатляющие достижения в области построения объединенной теории фундаментальных сил Природы, современная физическая наука на сегодняшний день не имеет полной и удовлетворительной теоретической картины, способной единым образом описывать все существующие виды взаимодействий. Как известно, наибольшие сложности связаны с проблемой построения логически замкнутой теории квантовой гравитации, что объясняется существенной нелинейностью классических уравнения гравитационного поля, полученных в рамках общей теории относительности. В течение достаточно длительного периода времени предпринимались многочисленные усилия в этом направлении, но непротиворечивой схемы квантования гравитационного поля и удовлетворительного включения гравитации Б другие виды взаимодействий до сих пор не существует. Тем не менее, отсутствие на сегодняшний день полной и логически законченной квантовой теории гравитации не лишает возможности исследовать влияние гравитационного поля на отдельные квантово-полевые эффекты в рамках так называемой квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени.Математически задача исследования квантово-полевых эффектов в искривленном пространстве-времени представляет собой некоторое приближение к пока не созданной квантовой теории гравитации, при котором гравитационное поле рассматривается как классическая фоновая метрика пространства-времени, а материальные поля представляют собой стандартные квантованные объекты (однопетлевое приближение) [1-4]. Исходя из подобной постановки задачи, уже на первоначальном этапе можно выделить круг особо важных и актуальных вопросов, без разрешения которых немыслимо успешное развитие данного формализма. В частности, к подобным вопросам можно отнести построение методов вычисления вакуумного тензора энергии-импульса, а так:же разработку методов перенормировки для устранения формальных бесконечностей в пространствах с нетривиальной топологией [5-10]. Кроме этого, одной из основных задач квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени является задача аналитического исследования различных эффектов самодействия и взаимодействия полей негравитационной природы, что в конечном итоге сводится к построению так называемой матрицы рассеяния (S'-матрицы) [11-14].Решение любой из вышеперечисленных задач, а также ряда других актуальных проблем квантовой теории поля в искривленном пространствевремени в конечном итоге связано с необходимостью точного интегрирования квантовых релятивистских уравнений, описывающих поведение квантованных полей различной природы. Исключительную роль при этом играют классы точно интегрируемых уравнений, так как с помош,ью точных решений удается получить достаточно строгие и детальные теоретические результаты.Отличительной особенностью точно интегрируемых дифференциальных уравнений является наличие различного рода симметрии. В частности отметим тот факт, что все имеющиеся на сегодняшний день ва»сные теоретические результаты в теории квантованных полей в искривленных пространствах получены лишь в рамках простейших космологических моделей, большинство из которых относятся к типу однородных изотропных пространств с достаточно богатыми группами симметрии [15-17]. Выбор подобных моделей, как правило, обусловлен наличием возможности получения точных аналитических решений соответствующих классических и квантовых уравнений, а также стремлением проиллюстрировать лишь определенные аспекты теории.Так, например, большинство популярных на сегодняшний день космологических моделей сводятся к типу однородных изотропных пространств Робертсона-Уокера [1]. Метрика пространства Робертсона-Уокера является наиболее простым обобщением метрики пространства Минковского, что дает возможность использовать вычислительные методы обычной квантовой теории поля в плоском пространстве. Несмотря на это, уже на примерах этой простейшей модели было продемонстрировано суш,ествование некоторых нетривиальных квантовых эффектов, не имеющих места в плоском пространстве-времени [18-21]. Кроме пространств Робертсона-Уокера, особое внимание специалистов также привлекает пространство де Ситтера [22-28], которое является единственным искривленным пространством с максимальной группой движений. Оно обладает той же степенью симметрии, что и пространство Минковского (10-параметрическая группа 50(1,4)) , что также весьма облегчает различные аналитические расчеты.Вышеуказанные модельные примеры, а также ряд анизотропных космологических моделей [29], использующихся в современной квантовой теории поля и общей теории относительности, тем не менее носят довольно ограниченный модельно-зависимый характер. Как было уже замечено, подобные пространства обладают значительной степенью симметрии, что дает возмож:ность сравнительно легко осуществлять процедуру интегрирования квантовых и классических уравнений. Однако с другой стороны, наличие богатой группы симметрии устанавливает довольно жесткие ограничения на свойства самой модели. Поэтому в настоящее время в качестве одной из актуальных проблем квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени выступает проблема рассмотрения класса римановых пространств, обладающих небольшим числом симметрии (либо не имеющие их вовсе), в которых тем не менее возможно осуществление аналитически точного интегрирования соответствующих уравнений. В частности, особый интерес представляют классы моделей, имеющих скрытые (неявные) симметрии, то есть симметрии, не сводящиеся к группам движений римановых пространств.В настоящей работе в качестве наиболее естественного обобщения традиционных моделей квантовой теории поля и общей теории относительности рассматривается класс однородных пространств с двумя естественными типами римановых структур — инвариантными метриками, определяющими действие группы на однородном пространстве как преобразование, сохраняющее данную метрику, и так называемыми центральными метриками или метриками субмерсии [30,31], обладающими неявными симметриями.Отметим, что класс центральных метрик на однородных пространствах является гораздо более широким, чем класс инвариантных метрик, в частности, можно утверж:дать, что центральная риманова метрика локально существует на любом однородном пространстве (для инвариантных метрик в общем случае это не верно). В настоящей работе будет показано, что несмотря на более общий характер центральных метрик, наличие скрытых симметрии в ряде случаев все же допускает осуществление точного интегрирования соответствующих уравнений на этих многообразиях.Построение точных решений фундаментальных уравнений математической физики, и в частности, нахождение условий, при которых построение подобных решений возможно, является основной задачей теории точного интегрирования дифференциальных уравнений. Разработка этого направления тесным образом связана с теорией симметрии, главной задачей которой является изучение определенных алгебраических свойств рассматриваемых уравнений [32-39]. Одним из наиболее популярных методов интегрирования дифференциальных уравнений является метод разделения переменных, использующий коммутативные алгебры операторов симметрии [40-42]. Тем не менее, довольно часто встречаются уравнения не допускающие решение указанным методом, поэтому все большую актуальность представляют альтернативные способы точного интегрирования, выходящие за рамки метода разделения переменных.Одним из наиболее перспективных в настоящее время методов нахождения точных решений дифференциальных уравнений является относительно недавно разработанный метод некоммутативного интегрирования [43-45]. Используя в полной мере некоммутативные симметрии исходного уравнения, данный метод не только является удобной альтернативой метода разделения переменных, но и кроме того позволяет решать класс задач, неинтегрируемых традиционными способами.Основной задачей, которую мы будем решать в настоящей работе, является построение методов точного интегрирования геодезических потоков и соответствующих релятивистских волновых уравнений на однородных пространствах с инвариантными и центральными метриками. При этом, по аналогии с методом некоммутативного интегрирования, для построения решений будут привлечены все симметрии исходной задачи. Кроме того, в работе также будут получены необходимые и достаточные условия интегрируемости указанных уравнений, что является полезными при выборе конкретных теоретических моделей, допускающих точное аналитическое описание.Диссертация объемом 109 страниц машинописного текста состоит из введения, четырех глав, 16 параграфов, заключения, прилож:ения и списка цитируемой литературы из 102 наименований.Первая глава диссертации, включающая три параграфа, посвящена изложению основных фактов из теории орбит коприсоединенного представления и связанных с этой теорией конструкций, необходимых для дальнейших целей.Во втором параграфе исследуется специфическая ситуация, когда функции Казимира К{Р) алгебр Ли являются многозначными функциями своих аргументов. Как показано в этом параграфе, подобные функции Казимира не являются в общем случае глобальными инвариантами коприсоединенного представления и, следовательно, не могут различать отдельные орбиты. В частности, вводится определение суш,ественно многозначных функций Казимира и демонстрируется, что фактор-пространство орбит в этом случае является неполуотделимым, а следовательно группа Ли относится к классу так называемых диких групп Ли. Для выделения подобных случаев были построены инварианты коприсоединенного представления всех вещественных алгебр Ли размерности меньше шести, и на основе полученных результатов найдены две дикие пятимерные группы Ли.В третьем параграфе показано, что метод орбит может быть эффективно использован при изучении различных характеристик однородных пространств М = G/H, полезных при построении методов точного интегрирования дифференциальных уравнений. В первой части параграфа приводятся инвариантные формулы для таких важных характеристик однородного пространства как степень вырождения SM, индекс ъм и дефект d{M) однородного пространства. Данные характеристики представляют собой целые неотрицательные числа, которые могут быть легко посчитаны по известным структурным константам алгебры Q группы G и подалгебры 7i группы изотропии Н. В работе [46] показано, что пространства нулевого дефекта — это коммутативные пространства, частным случаем которых являются симметрические и слабосимметрические пространства.Во конце третьего параграфа приводятся важные результаты об алгебре инвариантных операторов J- на однородном пространстве, то есть операторов коммутирующих с генераторами группы преобразований. В частности, приведены формулы для вычисления размерности dim J^ и индекса ind J^ алгебры инвариантных операторов, а также указывается способ построения таких операторов.Вторая глава настоящей диссертации посвящена разработке метода интегрирования в квадратурах геодезических потоков на однородных пространствах с инвариантными и центральными римановыми метриками, а также получению соответствующих необходимых и достаточных условий интегрируемости. Отметим, что знание алгебры симметрии дифференциального уравнения чаще всего не доставляет никакой информации о построении конкретных решений, поэтому развитие соответствующих методов представляет собой актуальную самостоятельную задачу.В четвертом параграфе приводится схема конструирования двух типов естественных римановых структур на однородных пространствах М — G/H — G-инвариантных и центральных метрик. Показано, что оба этих типа римановых метрик можно рассматривать как проекции на однородное пространство квадратичных инвариантных форм на соответствующей группе Ли О. Приводится явное выражение для компонент метрического тензора центральной метрики.Пятый параграф диссертации посвящен некоторым специфическим свойствам геодезических потоков на однородных пространствах с центральными метриками. В частности показывается, что геодезические относительно центральной метрики на однородном пространстве являются проекциями геодезических на группе Ли относительно соответствующей левоинвариантной римановой метрики.В шестом параграфе с помощью приведенных в третьем параграфе конструкций строится специальный канонический переход от переменных (х, р) на Т*М к каноническим координатам Дарбу {q, тг) на орбитах коприсоединенного представления Ох и каноническим координатам (и, v) на симплектических листах О^ пуассоновой алгебры J^ инвариантных функций. Данное каноническое преобразование обобщает хорошо известное в механике преобразование к переменным "действие-угол".В седьмом параграфе полученное преобразование к каноническим координатам на К-орбитах и симплектических листах ^-алгебры используется для интегрирования геодезических потоков с инвариантными и центральными метриками, и, как следствие, формулируются необходимые и достаточные условия интегрируемости в квадратурах рассматриваемых геодезических потоков. В частности, в пункте 1 седьмого параграфа показано, что после применения данного преобразования гамильтонова система геодезического потока с инвариантной метрикой преобразуется к системе не содержащей переменных (д, тг), и поэтому интегрируемость в этом случае определяется только количеством переменных (г;, и) на симплектических листах jr-алгебры, а именно дефектом d{M) однородного пространства. В качестве примера, проинтегрирован геодезический поток с инвариантной нештеккелевой метрикой на однородном пространстве пятимерной неразрешимой группы Ли.Аналогично, в пункте 2 седьмого параграфа показано, что для центральных метрик соответствующая преобразованная гамильтонова система геодезического потока не будет содержать канонических переменных (г;, и) на симплектических листах О^ и, следовательно, интегрируемость определяется только количеством переменных (^, тг), то есть размерностью Корбиты. С помощью перехода к каноническим координатам на К-орбитах проинтегрирован геодезический поток с центральной метрикой на однородном пространстве дикой группы Маутнера, рассмотренной во втором параграфе настоящей диссертации. Отметим, что указанное каноническое преобразование по сути дела является в этом случае единственной альтернативой, так как одна из функций Казимира в данном примере имеет существенную многозначность и поэтому стандартные методы ограничения таких систем на поверхности уровня интегралов движения не работают.В конце седьмого параграфа рассматривается частный случай инвариантных метрик — биинвариантные метрики на однородных пространствах.Биинвариантная метрика является одновременно инвариантной и центральной, поэтому с помощью вышеуказанного канонического перехода система соответствующего геодезического потока сводится к системе, в которой одновременно отсутствуют координаты (д,7г) и {v^u). Отсюда как следствие, мы получаем утверждение о том, что произвольные геодезические потоки с биинвариантными метриками являются интегрируемыми в квадратурах.В восьмом параграфе на основе полученных теорем о необходимых и достаточных условиях интегрируемости классифицируются четырехмерные однородные пространства с группами преобразований размерности меньше шести, допускающие интегрируемые в квадратурах геодезические потоки относительно центральных метрик. Ввиду того, что в случае каждого конкретного однородного пространства М интегрируемость геодезического потока с произвольной центральной метрикой влечет интегрируемость геодезического потока с G-инвариантной метрикой, данная классификация перечисляет также возможные интегрируемые случаи для инвариантных метрик. Отметим, что полученная классификация является полезной при выборе теоретических моделей в квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени, допускающих точное интегрирование соответствующих классических и квантовых уравнений.Третья глава диссертации посвящена непосредственному обобщению построенного выше метода интегрирования геодезических потоков на случай соответствующих уравнений Якоби. Известно, что геодезические на римановых многообразиях локально представляют собой кратчайшие расстояния между любыми двумя точками, однако глобально данное свойство может не выполняться. Для дополнительного исследования экстремальных свойств геодезических используют вторую вариацию функционала действия (см., например, [16,47-49]),что в конечном итоге приводит к варьированию уравнения геодезических. Уравнение, которое при этом возникает, является линейным дифференциальным уравнением второго порядка и называется уравнением Якоби. Решениями данного уравнения является так называемые векторные якобиевы поля, описывающие отклонения геодезических при малых изменениях начальных условий, а поэтому предоставляющие информацию об устойчивости решений соответствующих геодезических потоков. В частности, исследование решений уравнения Якоби позволяет делать выводы об экспоненциальном или осцилляционном характере поведения близких геодезических на римановых многообразиях, что напрямую связано с топологическими свойствами этих многообразий [50-52].В десятом параграфе показано, что на касательных расслоениях TW произвольных пуассоновых многообразий W существует локальная пуассонова структура {•, -jy, позволяющая представить любую гамильтонову систему вместе со своей системой в вариациях (линеаризованной гамильтоновой системой) снова в гамильтоновой форме. В качестве простейших, но полезных примеров, рассматриваются случаи, когда многообразие W есть кокасательное расслоение Т*М с естественной симплектической структурой и) = dpAdx, а также когда W — дуальное пространство конечномерной алгебры Ли Q со скобкой Ли-Пуассона.В одиннадцатом параграфе мы исследуем структуру гамильтоновых систем в вариациях геодезических потоков (уравнений Якоби) на произвольных римановых многообразиях и показываем, что переписанные в гамильтоновой форме, данные уравнения представляют собой расширенный геодезический поток на касательном расслоении ТМ риманова многообразия М относительно некоторой индуцированной римановой метрики. В конце параграфа доказывается теорема о полной интегрируемости расширенного геодезического потока.Двенадцатый параграф посвящен обобш,ению изложенного во второй главе метода интегрирования геодезических потоков на случай расширенных геодезических потоков на касательных расслоениях ТМ однородных пространств с инвариантными и центральными метриками. В частности, мы показываем, что многообразие ТМ обладает структурой однородного пространства с группой преобразований G, являюш,ейся прямым произведением группы G на абелеву группу М", где п = dim С Кроме того, доказывается, что индуцированные метрики в ТМ наследуют алгебраическую структуру соответствующих метрик на однородном пространстве М. Другими словами, риманова метрика на ТМ, индуцированная Gинвариантной метрикой на М, является инвариантной относительно действия группы G, а метрика на ТМ, индуцированная центральной метрикой на М, является центральной относительно группы G. Указанные факты позволяют легко обобщить метод интегрирования в квадратурах геодезических потоков на рассматриваемый случай.В тринадцатом параграфе разработанная техника интегрирования расширенных геодезических потоков применяется для нахождения решений уравнения Якоби на двумерной плоскости Лобачевского L^, которое является симметрическим пространством отрицательной кривизны.Четвертая глава диссертации состоит из трех параграфов и содерж:ит описание метода интегрирования квантовых уравнений на однородных пространствах с центральными метриками.В четырнадцатом параграфе вводится определение квантовых уравнеНИИ на однородных пространствах с центральными метриками, которые являются квантовыми аналогами соответствующих геодезических потоков. В основе данного определения лежит требование о сохранении всех симметрии при переходе от исходной классической задачи к квантовому случаю.Кроме этого вводится понятие "интегрируемости" квантового уравнения.В пятнадцатом параграфе канонический переход к координатам Дарбу на К-орбитах и симплектических листах пуассоновой алгебры обобщается для редукции квантовых уравнений на однородных пространствах к уравнениям с минимально возможным числом независимых переменных.Ключевую роль при этом играет понятие квантования К-орбит и симплектических листов, состоящее в замене функций перехода к каноническим переменным на соответствующие операторы, действующие в двойственном пространстве Ф и образующие неприводимые представления алгебр Q и Т (Л-представление). На основе построенного алгоритма редукции доказывается теорема об интегрируемости квантовых уравнений на однородных пространствах.Шестнадцатый параграф посвящен применению разработанного алгоритма интегрирования квантовых уравнений для нахождения точных решений релятивистских волновых уравнений на однородных пространствах.Данная задача имеет важное прикладное значение в построении квантовой теории поля на однородных пространствах с центральными метриками. В частности, мы предлагаем процедуру построения фундаментальных решений неоднородных квантовых уравнений (функций Грина) на однородных пространствах с центральными метриками. В конце параграфа рассматривается пример четырехмерного однородного пространства с пятимерной группой преобразований, для которого мы находим общее решение неоднородного квантового уравнения с оператором Лапласа-Бельтрами относительно центральной римановой метрики.На защиту выносятся следующие положения.1. Построены все инварианты коприсоединенного представления вещественных групп Ли размерности меньше шести. На основе полученных результатов выделены дикие группы Ли с неполуотделимым пространством орбит коприсоединенного представления.2. Рассмотрен класс неинвариантных римановых метрик на однородных пространствах (так называемые центральные метрики или метрики субмерсии), геодезические потоки которых допускают скрытые интегралы движения. Изучены свойства геодезических потоков с данными метриками.3. Предложен алгоритм построения канонического преобразования на кокасательных расслоениях однородных пространств, с помощью которого доказаны теоремы о необходимых и достаточных условиях интегрируемости геодезических потоков с инвариантными и центральными метриками. С помощью полученных критериев интегрируемости приведена классификация четырехмерных однородных пространств с группами преобразований размерности меньше шести, которые допускают интегрирование в квадратурах рассматриваемых геодезических потоков.4. Показано, что на произвольном римановом многообразии уравнение геодезических и уравнение Якоби можно рассматривать как геодезический поток на касательном расслоении данного многообразия, снабженном римановой структурой специального вида. Доказано, что условие интегрируемости уравнения Якоби эквивалентно условию интегрируемости в квадратурах исходного геодезического потока.5. Построен квантовый аналог канонического преобразования и с его помощью предложен алгоритм интегрирования квантовых уравнений на искривленных римановых пространствах с центральными метриками.Доказано, что условие интегрируемости данных уравнений эквивалентно условию интегрируемости соответствующих геодезических потоков.Материалы диссертации докладывались на — научных семинарах ОФ Института математики им. СМ. Соболева СО РАН; — Всероссийской конференции «Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение», приуроченной к 85летию академика Л.В.Овсянникова. 10-14 мая 2004 года, Новосибирск; — XVI международной летней школе-семинаре по современным проблемам теоретической и математической физики — «Волга-2004». Казань, 2004 г; Результаты диссертации опубликованы в работах [31,53,68,75,77,103].
