Главная » 2014 » Август » 30 » Скачать Алгебраические замыкания обобщённой модели алгоритмов распознавания, основанных на вычислении оценок. Дьяконов, Александр бесплатно
00:00
Скачать Алгебраические замыкания обобщённой модели алгоритмов распознавания, основанных на вычислении оценок. Дьяконов, Александр бесплатно
Алгебраические замыкания обобщённой модели алгоритмов распознавания, основанных на вычислении оценок
Диссертация
Автор: Дьяконов, Александр Геннадьевич
Название: Алгебраические замыкания обобщённой модели алгоритмов распознавания, основанных на вычислении оценок
Справка: Дьяконов, Александр Геннадьевич. Алгебраические замыкания обобщённой модели алгоритмов распознавания, основанных на вычислении оценок : диссертация доктора физико-математических наук : 01.01.09 / Дьяконов Александр Геннадьевич; [Место защиты: Вычисл. центр им. А.А. Дородницына РАН] - Москва, 2009 - Количество страниц: 292 с. ил. Москва, 2009 292 c. :
Объем: 292 стр.
Информация: Москва, 2009
Содержание:
Введение
§0 Обозначения
Глава 1 Описание алгебраических замыканий обобщённой модели алгоритмов вычисления оценок
§11 Модель алгоритмов вычисления оценок (АВО)
§12 Алгебра над алгоритмами
§13 Системы эквивалентностей
§14 Операции внешнего и покоординатного произведений
§ 15 Матрицы оценок операторов из алгебраических замыканий
Глава 2 Критерии корректности и разрешимости
§21 Характеристические матрицы систем эквивалентностей
§22 Метрики систем эквивалентностей
§23 Обобщённые характеристические матрицы и метрики систем эквивалентностей
§24 Описание корректных полиномов
§25 Характеристические матрицы в задачах распознавания с двумя классами
Глава 3 Оценки степени корректного алгебраического замыкания
§31 Модель АВО с общей функцией близости
§32 Неулучшаемая оценка степени корректного алгебраического замыкания
§33 Задачи распознавания с непересекающимися классами
§34 Модель АВО с системой одноэлементных опорных множеств
§35 Исследование некоторых подмоделей
Глава 4 Алгебра над алгоритмами, пополненная операциями нормировки и деления
§41 Основные определения Замыкания относительно операций
§42 Нормировка по сумме
§43 Нормировка по максимуму
§44 Нормировка по отрезку
§45 Сравнение различных видов нормировок Деление матриц распознающих операторов)
Глава 5 Корректность относительно множества решающих правил
§51 Решающие правила
§52 Общие критерии получения классификации
§53 Критерии корректности относительно семейств построчно и постолбцово монотонных решающих правил
§54 Корректность в задаче распознавания с непересекающимися классами
§55 Сведение задач распознавания
Глава 6 Критерии вырожденности матрицы попарных 1Х -расстояний и их обобщения
§61 к -сингулярные системы точек
§62 Описание А:-сингулярных систем точек
§63 Приложение результатов о &-сингулярных системах к распознаванию
Введение:
В начале 1970х годов Ю.И. Журавлёвым была описана модель алгоритмов вычисления оценок (АВО) для решения- задач распознавания^ [ЖН71], [ЖКТ74]. Каждый алгоритм модели представлялся в виде суперпозиции распознающего оператора и решающего правила. Распознающий оператор строил матрицу оценок принадлежности контрольных объектов (которые алгоритм должен классифицировать) классам, анализируя схожести подописаний контрольных и эталонных объектов (классификация которых уже известна). Решающее правило на основе этой матрицы оценок классифицировало контрольные объекты. В АВО5были-отражены многие эвристические методы, которые применялись тогда при решении прикладных задач, и модель стала своеобразным универсальным языком описания алгоритмов распознавания [Ж98]. Например, представителями модели были тестовые алгоритмы [ДЖК66], [Яд71] и алгоритмы «Кора» [Бн67], [Вн73], успешно зарекомендовавшие себя на практике.
В конце 1970х годов Ю.И.Журавлёвым был предложен алгебраический, подход к решению • задач распознавания: корректный-алгоритм (который не делает ошибок на контрольный выборке) было предложено искать в виде алгебраического выражения над некорректными (эвристическими) алгоритмами [Ж77а], [Ж776], [Ж77в]. Над распознающими операторами были введены операции сложения, умножения на константу и умножения как операции над их матрицами оценок (умножение проводилось поэлементно). При фиксированном решающем правиле эти операции индуцировали операции над алгоритмами распознавания. Множество алгоритмов, состоящее из всех полиномов степени не выше к над алгоритмами- некоторой^ модели, было* названо алгебраическим замыканием к-й степени этой модели. Множество всех полиномов - алгебраическим замыканием (если ясно из контекста, то
• Задачу распознавания образов по традиции российской научной литературы последних лет называем задачей распознавания (изначально термин «образ» был не совсем корректен РКГ89]). алгебраическим замыканием также называется алгебраическое замыкание конечной степени). Для модели кусочно-линейных решающих поверхностей и АВО было доказано, что существует и в явном виде выписывается корректный алгоритм-полином над некорректными алгоритмами. Отметим, что основное достижение алгебраического подхода — строгое доказательство того, что в теории распознавания возможно построение «хороших» алгоритмов на базе «плохих», устраняя недостатки одного конкретного алгоритма достоинствами остальных. Эту идею используют многие конструкции, в том числе самые современные и практически эффективные: комитеты- [Мз71], [Мз90], бустинг (boosting) [Sc90], [FS95], смешение мнений экспертов (mixtures of experts) [JJ91], усреднение по ансамблю [Н98], модульное обучение (modular learning) [OWS90], области компетентности [РЭ81], нелинейные монотонные корректирующие операции [В98], [BQ0], [РВ99]. Само доказательство было проведено «чисто алгебраическими» методами, что продемонстрировало возможность применения- «классической» математики в . неформализованных областях анализа данных, в которых изначально господствовали лишь эвристические методы и для-каждой новой задачи заново создавался свой алгоритм.
Алгебраический подход к решению1 задач распознавания интенсивно развивался- [ЖР87], [Ж88], [Ж98], [РЧОЗ]. В нём можно выделить отдельную ветвь - теорию локальных и универсальных ограничений К.В'. Рудакова [Р89], [Р92], [Р871], [Р872], [Р873], [Р874], [Р881], которая поставила своей целью создание универсального языка, пригодного для-описания и исследований задач преобразования, информации. В процессе своего развития алгебраический подход приобрёл не только- сторонников, но и противников. В основном, критика алгебраического- подхода фокусирует внимание на «непрактичность теории» и невозможность в явном виде применять корректные алгоритмы-полиномы при решении прикладных задач. B.JI. Матросов показал, что существуют подмодели алгебраических замыканий АВО, которые содержат корректные алгоритмы и «ничем не хуже» большинства современных моделей
• б с точки зрения общепринятой теории надёжности В.Н. Вапника -А.Я.Червоненкиса [ВЧ74], [V98]. К.В. Воронцов предложил методы эффективного использования конструкций алгебраического подхода для решения прикладных задач [В98], [В99], [В00].
Отметим, что все исследования, в основном, были сконцентрированы на оптимизации алгоритмов модели [Рз76], [Рз88], [ЖРС06] и алгебраических выражений над ними [В99]. При этом и сторонниками и противниками алгебраического подхода упускался важный объект исследования; Напомним, что в классических работах [Ж77а], [Ж776], [Ж77в] предложено искать алгоритмы в рамках алгебраических замыканий. Доказано, что там существуют корректные алгоритмы. Доказательства являются^ типичными теоремами существования. Не постулируется, что решать прикладные задачи нужно именно с помощью алгоритмов, построенных в этих доказательствах. Таким образом, предметом исследований могут быть (и должны быть) алгебраические замыкания как таковые, но до настоящего- времени они не были даже достаточно хорошо» описаны. Споры, которые велись вокруг алгебраического подхода (например, по вопросам его практической эффективности) концентрировались вокруг методов.построения алгоритмов, свойств.этих алгоритмов и т.д., но не вокруг алгебраических замыканий. Только имея полное и точное описание алгебраических замыканий, можно анализировать: есть ли в них «хорошие» алгоритмы, как их синтезировать, и т.д.
Технику анализа алгебраических конструкций в рамках классической теории1 удалось построить В.Л. Матросову [М85], [М89]. Изначально она рассматривалась как аппарат для решения задачи о теоретическом обосновании надёжности^ алгоритмических построений^ в алгебраическом подходе [М80], [М81ж], [М82], [М84ж], [М84], [М85ж]'. Наверное поэтому, с её помощью удалось решить лишь несколько, но очень важных проблем, связанных с
• «Классической» здесь называем теорию, которая непосредственно связана с работами [Ж77а], [Ж776], [Ж77в]. В ней исследуется такая же модель АВО и такой же вид алгебраических замыканий. корректностью алгебраических замыканий (возможностью получить операторами замыкания произвольную матрицу оценок в рассматриваемой задаче распознавания1): найти критерии корректности алгебраических замыканий (В.Л: Матросов [М81]), оценку степени корректного алгебраического замыкания (B.JI. Матросов- [М85], Т.В. Плохонина [П87]), примеры задач распознавания, которые не решаются (точно) алгоритмами из алгебраического замыкания конечной степени (В.JI. Матросов [М81], Т.В. Плохонина [П85]). Эти результаты, в определённом смысле, поставили гораздо больше проблем, причём, более сложных: нахождение «наглядных» критериев- корректности, получение пониженных оценок, описание всех задач, разрешимых алгоритмами из алгебраического замыкания конечной степени.
Настоящая работа посвящена исследованию алгебраических замыканий конечных степеней модели АВО. Отметим; что все результаты получены для обобщённой, модели АВО-(и справедливы для стандартной). Основной целью работы было исследование именно классической модели (сохраняя, все традиционные алгебраические конструкции)-. Обобщения вызваны* желанием сделать модель «более современной», адаптировав её'для решения прикладных задач, которые появляются в последнее десятилетие. Первое обобщение модели связано с введением в формулу вычисления' оценок слагаемых, которые учитывают удалённость классифицируемого объекта от объектов рассматриваемого класса и его близость к объектам других классов. Идея, подобного изменения формулы принадлежит Ю.И. Журавлёву и реализована в работе А.А. Докукина [До08] (без исследования специфики новой- модели). Второе обобщение связано с изменением учёта близости между объектами, которая в классическом случае определялась как взвешенная* сумма близостей признаковых подописаний этих объектов [Ж78а]. Модель выписывается для
• При наложении на решающее правило необременительных требований (см. дальше по тексту) это гарантирует решение задачи алгоритмами замыкания при любой классификации контрольных объектов.
2 Для стандартной модели АВО в работе часто удаётся получить более сильные результаты. произвольного способа задания объектов, в том числе отличного от признакового. Единственное требование - возможность вычислять для любой пары объектов значение функции, которая является аналогом расстояния, но на которую не накладывается никаких существенных ограничений. В задаче может быть задано семейство таких функций (каждая формализует своё понятие «похожести» пары объектов), при этом их значения принадлежат некоторому частично упорядоченному множеству. Ниже перечислим основные результаты, полученные в работе, с кратким историческим обзором предыдущих исследований.
Получение «наглядных» конструкций алгебраического подхода
До настоящего времени не была разработана техника, которая не только предоставляет арсенал методов для анализа алгебраических замыканий модели АВО, но и даёт простую геометрическую интерпретацию алгебраических конструкций. Большинство известных алгоритмов распознавания имеют очень простые и наглядные описания определяемых ими разделяющих поверхностей (в задаче с двумя непересекающимися классами это поверхность в признаковом пространстве, по одну сторону которой лежат объекты, которые алгоритм относит к первому классу, а по другую - ко второму). Например, для линейного классификатора - это гиперплоскость [TF78], для метода ближайшего соседа — последовательность рёбер диаграммы Вороного [ПШ89], для нейросети с несколькими слоями и персептронными элементами — граница полиэдрального множества [Мс]. Алгоритмы алгебраических замыканий конечных степеней до сих пор подобного описания разделяющих поверхностей не имели, несмотря на полученные критерии корректности алгебраических замыканий АВО и разрешимости задач. Критерии [М81], [М85] были изложены в терминах теории систем линейных неравенств G.H. Черникова. [468] и не допускали простой интерпретации в терминах самой задачи распознавания. В. работе получены именно геометрические критерии корректности модели и разрешимости задач алгоритмами модели, описан вид разделяющих поверхностей, в терминах преобразования метрики представлен переход от линейного замыкания к алгебраическому замыканию конечной степени (гл. 2, 6, [Д085] [Д08д] [Д09д]).
Отметим, что параллельно предложена новая техника анализа алгебраических конструкций: техника систем эквивалентностей (гл. 1, 2 [Д08о]). Показано, что матрица оценок оператора алгебраического замыкания конечной степени является' линейной комбинацией характеристических векторов (записанных в матричной форме) классов эквивалентностей некоторой системы эквивалентностей. Элементарно описывается преобразование системы, соответствующее переходу от линейного замыкания модели к алгебраическому произвольной степени, при этом весь анализ во многих случаях может быть проведён лишь для линейного замыкания. Отметим также, что между задачами распознавания и системами эквивалентностей имеется соответствие (гл. 2, 3), которое позволяет весь анализ проводить в терминах систем. Большинство классических результатов, например центральный результат алгебраического подхода о корректности алгебраического замыкания модели АВО в классе регулярных задач, является следствием простых свойств-эквивалентностей (и даже получается в более общем виде, см. гл. 1). Описание всех задач, для,которых некорректно алгебраическое замыкание конечной' степени
После создания B.JI. Матросовым техники описания алгебраических замыканий модели АВО много результатов удалось получить буквально «слёту». Была обоснована некорректность алгебраического замыкания второй степени на множестве всех регулярных задач [М81], затем некорректность алгебраического замыкания произвольной конечной степени [П85]1. Следующая естественная проблема — полное описание класса (регулярных) задач, для которых алгебраическое замыкание фиксированной, степени некорректно.
• Данная публикация имеет неточное название: вместо «конечной степени» в заглавии написано «второй степени», что вводит в заблуждение многих исследователей, см., например, [Ро08]. Отметим, что в [М85] также упоминается некорректность алгебраического замыкания произвольной конечной степени, но строгого доказательства не приводится.
Однако более 20 лет существенных продвижений в решении этой задачи не было. В работе такие классы задач описаны, причём в самом общем случае (см. гл. 6, [Д09д]). Отметим, что параллельно описаны семейства алгоритмов, содержащие корректные алгоритмы минимальной степени (гл. 2). В частности, одно из таких семейств - множество классических полиномов Ю.И. Журавлёва над алгоритмами [Ж776].
Теоретическое обоснование понятия, корректность
В алгебраическом подходе к решению задач распознавания- принято рассматривать модели алгоритмов с фиксированным-решающим правилом. На него накладывают достаточно необременительное требование: корректность решающего правила (сюръективность. реализуемого им отображения), а на множество распознающих операторов — достаточно жёсткое требование: корректность модели (возможность получить произвольную матицу оценок в рассматриваемой задаче распознавания). Единственная цель всех этих ограничений — гарантировать получение произвольной* классификации* контрольных объектов; Так почему же изначально не сделать это определением корректности модели? Этот вопрос не исследовался; и строгих обоснований- традиционно-принимаемых допущений- нет. В работе- исследована корректность относительно семейства решающих правил (гл. 5, [Д05м], [ДОби]). Модель называется корректной относительно семейства (в задаче распознавания), если для любой классификации контрольных объектов существует распознающий оператор модели и решающее правило семейства, суперпозиция которых даёт эту классификацию. Оказалось, что для «естественных» семейств решающих правил понятия корректность и корректность относительно семейства совпадают. На семейства решающих правил, при этом, накладывались лишь незначительные ограничения частичной монотонности. Такая формализация понятия «естественное отображение» принадлежит К.В. Рудакову [Р95],
РВ99]: правила не должны «портить» оценки принадлежности, полученные распознающими операторами1.
Требование реализации моделью произвольной классификации для заданного множества контрольных объектов также ранее не было обосновано. Во многих задачах есть априорные ограничения на ответ (например, в задаче с непересекающимися классами каждый объект может принадлежать лишь одному классу и алгоритму достаточно выдавать номер этого класса). В работе показано (гл. 5), что если изменить требование порождения произвольной классификации на требование порождения произвольной классификации, из заданного- семейства (т.е. изменить определение корректности), то критерии корректности могут быть,упрощены.
Вывод неулучшаемой оценки степени корректного алгебраического замыкания'
Степень корректных алгоритмов-полиномов, построенных Ю.И. Журавлёвым в [Ж776] асимптотически равнялась qlogq, где q - число контрольных объектов (1977г.). Хотя вопрос оценки'сложности обычно встаёт первым при построении подобного рода конструкций, проблема имеет достаточно долгую* историю. Первая нетривиальная, оценка степени к -корректного алгебраического замыкания модели АВО была получена B.JI. Матросовым: к
1 Изначально требования монотонности накладывались на корректирующие операции. неулучшаемой для модели АВО (считалось, что для любых натуральных qui существует задача распознавания, в которой некорректно алгебраическое замыкание степени к при l<^<|log2^r/J). Отметим, что в [Р89] исследовался другой тип алгебраических замыканий: вместо «классических» полиномов над распознающими операторами с нулевым свободным членом рассматривались полиномы с ненулевым свободным членом, который интерпретировался как оператор, получающий матрицу оценок с одинаковыми, элементами1. Хотя, как следует из полученных ниже результатов, для модели АВО это не имеет значения. В данной работе впервые более чем за четверть века исследований удалось получить неулучшаемую оценку, зависящую от параметров q и I гл. 3, [Д05с]). Для важных частных случаев получены пониженные неулуч-шаемые оценки (гл. 3, [Д08о]). Пополнение алгебры над алгоритмами
Классическая алгебра над алгоритмами распознавания содержит операции сложения, умножения и умножения на константу. Пополнение этой алгебры новыми операциями или замена умножения другой операцией уже исследовались (см. [Р92]). Однако особого интереса результаты этих исследований не представляли, поскольку эксплуатировали стандартную идею: новая операция, применённая к представителям «хорошего» множества матриц оценок, должна получить базис пространства матриц. «Хорошим» множество считалось, если в нём для любой позиции существует матрица, в которой элемент на этой позиции по модулю больше остальных. До сих пор не были найдены «естественные» операции, которые значительно упрощают критерии корректности, не делая их вырожденными. В работе найдены и исследованы такие операции: нормировки (гл. 4, [Д07], [Д09]). До сих пор также не было исследовано пополнение алгебры над алгоритмами операцией деления. В данной работе показано, что деление является достаточно «мощной»
• Это факт часто не учитывается исследователями. алгебраической операцией (гл. 4, [Д07]). Попутно в работе введено понятие «замыкание в стандартной форме» (когда алгебраические выражения с новой операцией строятся специальным «простым» способом). Почти все замыкания, представленные в работе, достаточно рассматривать в стандартной форме. Например, алгебра алгоритмов с делением эквивалентна замыканию в стандартной форме относительно операции взятия обратной (по Адамару) матрицы1. Связь алгебраических замыканий модели АВО с другими моделями алгоритмов распознавания
В описании модели АВО нашли отражение многие идеи «успешных» методов распознавания XX века. В работе продемонстрирована связь между алгебраическими замыканиями АВО и некоторыми современными моделями алгоритмов распознавания (гл. 2, 6, [Д085]). Например, переход к алгебраическим замыканиям АВО соответствует применению специальных ядер в методе опорных векторов (SVM) [BGV], [Виг]. Эта связь позволяет учитывать достоинства одного метода при настройке другого. Например, при построении классических корректных алгоритмов-полиномов над АВО неявно использовался переход в пространство, в котором есть линейное разделение объектов-, а затем само разделение производилось фиксированной гиперплоскостью. Естественно, такие конструкции непрактичны, переобучены [В04] и служат лишь для доказательств теорем существования. Из результатов, полученных в работе, следует способ синтеза более надёжных алгоритмов, используя идею SVM построения оптимальной (а не какой-нибудь) разделяющей гиперплоскости. Причём её можно строить и при отсутствии линейного разделения объектов, не переходя в • алгебраическое замыкание высокой степени (при этом будет получен, вообще говоря, некорректный алгоритм). С другой стороны, в SVM можно использовать идею АВО работать
• Это, видимо, объясняет, почему алгебра алгоритмов с делением не встречалась в литературе: не было найдено удобной формы для представления результатов.
• Здесь слово «объект» используется в общем смысле (т.е. не обязательно это объект распознавания, см. гл. 2). не в исходном признаковом пространстве (объекты часто вообще задаются не признаковым описанием), а в пространстве значений функций близости1 В алгебраических замыканиях АВО, по сути, используются два ядра: одно -функция близости, второе - полиномиальное (для перехода в соответствующее алгебраическое замыкание). В работе также показана связь линейного замыкания ^ АВО с линейной регрессией и жёсткой интерполяцией (гл. 6), из которой следуют методы настройки алгоритмов'из алгебраических замыканий. Отметим, что эти- методы в работе не излагаются, поскольку выходят за рамки основной тематики. Работа, помимо всего прочего, иллюстрирует то, что в современном распознавании мало принципиально различных методов. Все используют одни и те же идеи, часто «превращаются» друг в друга- при специальном- выборе параметров, имеют схожие геометрические интерпретации. И чем сложнее модель, тем к большему числу других моделей- она» сводится (примером также могут служить нейронные сети, см. [Н98]), естественно, тем актуальнее проблема эффективной- настройки параметров модели. При этом алгебраические замыкания (сложной)' модели АВО достаточно просто описываются.
Нахождение критериев вырожденности матрицы попарных 1Х-расстояний и их обобщений
Часть работы (гл. 6) посвящена отдельной математической проблеме: исследуется, задача о вырожденности матрицы попарных расстояний системы точек, а также её обобщения, связанные с приложениями в алгебраическом подходе к решению задач распознавания. Получены необходимые и достаточные условия на систему, при которых размерность пространства значений полиномов ограниченной степени над столбцами такошматрицы меньше числа, точек системы.
• Отметим, что на похожей идее базируются результаты теории беспризнакового распознавания в гильбертовом пространстве [Ср01].
Матрицы попарных расстояний возникают во многих задачах, связанных с интерполяцией, например с помощью радиальных базисных функций (RBF) [Вх91] или жёстких функций (riddle functions) [RS93]. Один из результатов, полученных И.Шёнбергом в серии работ [S37], [S38], [S38a] о вложении-метрических пространств в гильбертово, - невырожденность таких матриц для конечной системы попарно различных точек пространства R"1 и метрики lp, 1 <р 1. Особый интерес представляет случай р = 1, для- которого многие' исследователи пытались найти «геометрический» критерий вырожденности матрицы попарных расстояний1. В' [DLC] показано, что системы точек плоскости R , которые соответствуют вырожденным, матрицам, л должны содержать замкнутые пути- (closed^ paths) — подсистемы вида /. часто будем указывать размеры матрицы с помощью нижнего индекса: НахЬ — матрица Н размера axb. ХахЬ - множество матриц размера axb с элементами из множества X.
Пусть R — поле (множество) вещественных чисел, Q — поле (множество) рациональных чисел, Z - кольцо (множество) целых чисел. Любой из этих символов с верхним индексом «+» обозначает подмножество всех неотрицательных чисел соответствующего множества, например R+ = [0,+00),
Z+={0,1,2,.}. Большинство результатов, полученных в работе, будет сформулировано с использованием символа Q (для поля рациональных чисел), который может быть заменён символом R (все они справедливы и для поля вещественных чисел), если не оговорено противное. Выражение F(|| hy ||ах6) при некотором преобразовании F: Q -» Q обозначает матрицу || F(hj) \\axb.
Запись {xj/e/ обозначает множество (Jl*,}. Если из. контекста ясно, iel какое множество пробегает индекс i, то это множество не будем указывать-, используя обозначение {х(}г-. Аналогичные обозначения используем, если элементы множества параметризованы набором индексов. При I = {ix,.,ik},
111= к, считаем, что порядок на множестве / не будет важен или будет указан), а также a,-)!=i ••>«/) •
Для любого множества X векторов линейного пространства над полем Q через щ{Х) обозначаем максимальное число линейно независимых векторов в этом множестве. В случае конечного множества X эта величина
• Сам индекс указывается, поскольку {х,} - множество, состоящее из одного элемента xt. совпадает с рангом матрицы mat(X). Для матрицы Н выражение щ{Н) обозначает её ранг, а выражение det(i/) - её определитель.
Далее используем также обозначения: [х] — целая часть числа х снизу (наибольшее целое число, не превосходящее числа х ), [х] - целая часть числа х сверху (наименьшее целое числом: х < у),
QL = {О', j) I ie {1,2,., q), j е {1,2,., /} },
2Л = Y
Ckx= Y\=k.
Для множеств
15.,^)|1
Как принято, системы равенств и неравенств записываем, объединяя все равенства и неравенства, входящие в систему, фигурной скобкой (слева). Таким образом, фигурная скобка обозначает логическое условие «и». По аналогии, логическое условие «или» обозначаем квадратной скобкой, например, запись х = 1 х = 2 эквивалентна записи л; е {1,2}.
